TÀI LIỆU LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ

Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2010...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
TÀI LIỆU LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾTài li u b i dư ng i tuy n Vi t Nam tham d IMO 2010 Tháng 6 - 2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 M cl c Các phương pháp và k thu t ch ng minh1. 22. Nguyên lý chu ng và th 42 Gi i phương trình hàm b ng cách l p phương trình3. 50 Các bài toán t i ưu v h các t p h p4. 63 V kỳ thi ch n i tuy n Vi t Nam d thi IMO 20105. 696. B t ng th c: M t s ví d và bài t p ch n l c 80 2 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010 Các phương pháp và k thu t ch ng minh Trong toán h c cũng như trong cu c s ng, c n bi t: Linh ho t x lý tình hu ng, ch n l a phương án t i ưu Tr n Nam Dũng Trư ng i h c KHTN Tp HCMCác nh lý toán h c phát bi u v các tính ch t c a các i tư ng toán h c và m i quanh gi a chúng. Và nh ng kh ng nh này c n ư c ch ng minh xu t phát t các tiên ,các nh lý và tính ch t ã ư c ch ng minh trư c ó. Và th c hi n bư c ch ng minh,ta c n có nh ng quy t c suy di n ch ng minh là ch t ch v m t toán h c.V i các bài toán Olympic cũng v y, yêu c u ch ng minh m t k t qu nào ó luôn hi ndi n, ngay c trong nh ng bài không có c m t “ch ng minh r ng”. Ch ng h n gi i 3phương trình x – 3x + 1 = 0 có th ta s ph i ch ng minh t t c các nghi m c a chúng gi i phương trình hàm f(x2 + f(y)) = f2(x) + y có th ta s ph ithu c o n [-2, 2],ch ng minh f là toàn ánh ...Bài vi t này nói v hai phương pháp và m t s k thu t ch ng minh cơ b n: ch ng minhph n ch ng, ch ng minh quy n p, ch ng minh ph n ch ng, dùng m nh ph n o,ph n ví d nh nh t, ví d và ph n ví d , s d ng nguyên lý Dirichlet, nguyên lý c c h n,nguyên lý b t bi n, s d ng tô màu, m b ng hai cách, s p x p th t … nói v các phương pháp và kCách ti p c n c a chúng ta là s thông qua các ví d ây s ch có các nh n xét, bình lu n, các nguyên t c chung ch không ư cthu t.trình bày h th ng như m t lý thuy t.Bài vi t này u tiên ư c vi t và trình bày trong chương trình “G p g g Toán h c2010”, ư c t ch c vào tháng 1 năm 2010, sau ó ư c b sung, hoành ch nh và trìnhbày t i H i ngh khoa h c “Các chuyên chuyên Toán và ng d ng” t ch c t i Ba Vì,tháng 5/2010. Cu i cùng, chu n b cho i tuy n Vi t Nam thi Olympic Toán qu c t ,bài vi t ư c b sung thêm các ph n v m b ng hai cách, Nguyên lý c c h n, S p x pth t và ng d ng c a các phương pháp và k thu t ch ng minh trong bài toán T i ưu th p.1. Phép ch ng minh ph n ch ngM t s ví d m uCh ng minh ph n ch ng có th nói là m t trong nh ng vũ khí quan tr ng c a toán h c.Nó cho phép chúng ta ch ng minh s có th và không có th c a m t tính ch t nào ó, nó 3 | Tr n Nam Dũng – 6/2010 Vietnamese IMO Team Training Camp 2010cho phép chúng ta bi n thu n thành o, bi n o thành thu n, nó cho phép chúng ta lýlu n trên nh ng i tư ng mà không rõ là có t n t i hay không. Ví d kinh i n nh t vphép ch ng minh ph n ch ng thu c v Euclid v i phép ch ng minh nh lý. T n t i vô s s nguyên t . ây, Euclid ã gi s ngư c l i r ng t n t i h u h n s nguyên t p1, p2, …, pn. Ông xéttích N = p1p2…pn + 1. N ph i có ít nh t 1 ư c s nguyên t p. Khi ó, do p1, p2, …, pn làt t c các s nguyên t nên t n t i i sao cho p = pi. Nhưng khi ó p | 1, mâu thu n.Bài t p1. Ch ng minh r ng t n t i vô s s nguyên t d ng 4k+3.2. Ch ng minh r ng t n t i vô s s nguyên t d ng 4k+1.Phương pháp xu ng thangM t ch ng minh n i ti ng khác b ng phương pháp ph n ch ng chính là ch ng minh c aEuler cho nh lý nh Fermat v i trư ng h p n = 4. nh lý. Phương trình x4 + y4 = z4 (1) không có nghi m nguyên dương.Ông ã gi s r ng phương trình (1) có nghi m nguyên dương. Khi ó, theo nguyên lýc c h n, t n t i nghi m (x0, y0, z0) v i x0 + y0 + z0 nh nh t. Sau ó, b ng cách s d ngc u trúc nghi m c a phương trình Pythagore x2 + y2 = z2, ông i n s t n t i c a m tnghi m (x1, y1, z1) có x1 + y1 + z1 < x0 + y0 + z0. Mâu thu n.Phương pháp này thư ng ư c g i là phương pháp xu ng thang.Bài t p3. Ch ng minh r ng phương trình x3 + 3y3 = 9z3 không có nghi m nguyên dương.4. Ch ng minh r ng phương trình x2 + y2 + z2 = 2xyz không có nghi m nguyên dương.S d ng m nh ph n o ph n o cũng là m t phương án ch ng minh ph n ch ngCh ...