Tài liệu ôn thi chuyên toán bậc THCS

Tài liệu phù hợp để cho các học sinh lớp 9, các bạn đam mê toán ôn thi học sinh giỏi huyện, thành phố hay thi học sinh giỏi tỉnh và thi vào các trường chuyên , phổ thông năng khiếu, Giúp em học tốt Toán 9 bao gồm các dạng bài tập cơ bản và nâng cao, Tài liệu viết đầy đủ nhất, các em học sinh có thể tự ôn tập. Các Thầy cô giáo có thể chỉnh sửa thành giáo án dạy phụ đạo cho học sinh...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu ôn thi chuyên toán bậc THCSPhạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Thọ Đề 1:Thi Chuyên Hùng Vương(2000-2001)Vòng 1:Câu 1: a).CMR: n3 − n 6 với ∀ n ≥ 0. ) ( b).Cho x = 6 + 2 5 + 6 − 2 5 : 20 . Hãy tính giá trị của biểu thức: ( ) 2000 P = x5 − x 7 + 1Câu 2: Xác định các giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất ( x, y ) với x, y là các số nguyên: ⎧(m + 1).x + (3m + 1). y + m − 2 = 0 (1) ⎨ ⎩2 x + (m + 2) y − 4 = 0 (2)Câu 3: x2 + y 2 a).Cho x > y và x. y = 1000 . Hãy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . x− y b).Giải phương trình : ( x − 1) + ( x − 2) 2000 2000 =1.Câu 4: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác: ha , hb , hc là độ dài ba đường cao tương ứng với ba cạnh đó; r là bán kính đường tròn nộI tiếp tam giác đó. 1111 a).CMR: + + = . ha hb hc r b).CMR: ( a + b + c ) ≥ 4. ( ha + hb2 + hc2 ) . 2 2Hướng dẫn giải :Câu 1: ( )a).Có: P = n3 − n = n. n 2 − 1 = ( n − 1) .n. ( n + 1) .Vì n, n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên P 2.- Nếu n 3 ⇒ P 3.- Nếu n chia cho 3 dư 1 thì (n-1) 3 ⇒ P 3.- Nếu n chia cho 3 dư 2 thì (n+1) 3 ⇒ P 3.Vậy P 3 mà ( 2,3) = 1 ⇒ P 6. ) ( ( )b).Có : x = 6 + 2 5 + 6 − 2 5 : 20 = 5 + 1 + 5 − 1 : 20 = 1. 1Phạm Minh Hoàng-Cựu học sinh trường THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú ThọTừ đó : P = (1 − 1 + 1) 2000 = 1.Câu 2: ⎧(m + 1).x + (3m + 1). y + m − 2 = 0 (1)Theo bài ra ta có: ⎨ ⎩2 x + (m + 2) y − 4 = 0 (2) ⎧2(m + 1) x + 2(3m + 1) y + 2m − 4 = 0 (3) ⇒⎨ ⎩2(m + 1) x + (m + 1)(m + 2) y − 4(m + 1) = 0 (4) ( )Lấy (4) trừ (3) theo vế ta có: m 2 − 3m . y − 6m = 0 hay m. ( m − 3) . y = 6m (5) .Để hệ có nghiệm duy nhất thì (5) phải có nghiệm duy nhất.Khi đó m ≠ 0, m ≠ 3. m + 12 6 15Ta có : y = (*) ⇒ x = = 1− (6). m−3 3− m m−3Từ (*) suy ra : Muốn y nguyên thì 6 ( m − 3 ) và từ (6) muốn x nguyên thì 15 (m − 3)Suy ra 3 (m-3) ⇒ m = 2, 4, 6 (theo (*)). Thử lại thấy thỏa mãn.Nhận xét: Học sinh có thể dùng kiến thức về định thức để giải quyết bài toán này.Tuynhiên theo tôi ,điều ấy không cần thiết.Chúng ta không nên quá lạm dụng kiến thức ngoàichương trình,”giết gà cần gì phải dùng tới dao mổ trâu”.Câu 3: ( x − y ) 2 + 2 xy 2000 2000 . Vì x > y nên x − y > 0 vàa).Có P = = x− y+ >0.Áp dụng x− y x− y x− y 2000bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x − y và được: P ≥ 2 2000 = 40 5 . x− y 2000Đẳng thức xảy ra ⇔ x − y = ⇔ x − y = 20 5 .Kết hợp với x. y = 1000 ta tìm được x− y⎡ x = 10 5 − 10 15 , y = −10 5 − 10 15⎢⎢ x = 10 5 + 10 15 , y = −10 5 + 10 15⎣b).Có: (x − 1) + (x − 2) 2000 2000 2000 2000 = x −1 + x−2 .-Thử với x = 1, x = 2 thấy thỏa mãn. ...