Tài liệu Phương trình và hệ phương trình

Tài liệu Phương trình và hệ phương trình giới thiệu về lý thuyết, các phép biến đổi, dạng chuẩn, phương pháp chung để giải toán phương trình và hệ phương trình, khai thác và áp dụng các phương pháp giải Toán. Đây là tài liệu tham khảo bổ ích dành cho các em học sinh THPT.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu Phương trình và hệ phương trình Phương trình và hệ phương trìnhA.Vấn đề lý thuyếtI/Các phép biến đổi-Cộng trừ nhân chia lỹ thừa-Liên hợp a -b a-b a- b= 3 a-3b= a+ b 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2-Hằng đẳng thức a 3 + b3 + c 3 = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca ) + 3abc(a + b + c)3 = a 3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a )( x + a )( x + b) = x 2 + (a + b) x + abII/Dạng chuẩn -Phương trình bậc 2: ax 2 + bx + c = 0 -b ± DPP: Tính D = b 2 - 4ac và sẽ có x = 2aVD: x + x - 2 y - 3 xy + 2 y = 0 Û x + (1 - 3 y ) x + 2 y 2 - 2 y = 0 . Thấy (1 - 3 y )2 - 4(2 y 2 - 2 y ) = ( y + 1)2 2 2 2Từ đây ta có x = 2 y h x = y - 1 -Phương trình đẳng cấp ax 2 + bxy + cy 2 = 0PP: Chia cho y 2 sẽ quay về bậc 2 với t = x / yVD: x + 2 y = x 2 + 2 xy . Hãy nhìn mà xem, VT và VP đều thuần bậc 1 => Bình phương có đẳng cấp bậc 2 -Hệ phương trình kiểu đối xứng IIPP: Trừ 2 phương trình cho nhau sẽ có nhân tử (x-y) ì2 x2 + 3 y 2 = 5 x - 2 y + 7 ïVD. í 2 . Lấy (2)=(1)*2 sẽ được nhân tử (x-y) ï 4 x + 6 y = x + 5 y + 14 2 î -Hệ đối xứng loại IPP: Đặt S=x+y và P=xy ta sẽ quy bài toán về ẩn SP ì xy ( x + y ) = 30 ì SP = 30VD: í 3 Ûí 3 î x + y = 35 î S - 3SP = 35 3 -Phương trình đối xứngPP: Chứng minh x=y bằng đánh giá hoặc phân tích đa thức ra nhân tửVD: a 3 + a = b3 + b Û (a - b)(a 2 - ab + b 2 + 1) = 0 Û a = b é a = b(tm) ê a + a = b + b Û ê a > b Þ a 3 + a > b3 + b ( L ) 3 3 ê ë a < b Þ a + a < b + b( L ) 3 3III/Phương pháp chung-Sử dụng các biến đổi-Sử dụng ẩn phụ è Đưa về các dạng chuẩn hoặc phương trình tích, hệ dễ giải.-Sử dụng BĐT. èTa đi chứng minhVT ³ a ³ VP hoặc x = m là nghiệm duy nhấtIV/Khai thác và áp dụng các phương pháp trong giải toán 1. Biến đổi trong giải toána/ Bài toán đã biết nghiệm.(pp: Đưa về phương trình tích) 1VD1. x( x 2 - 6 x + 12) + x + 2 £ 10Dùng fx ta có x=2. Và để tạo ra nhân tử x-2 ta làm như sau æ 1 öx( x 2 - 6 x + 12) + x + 2 £ 10 Û ( x3 - 6 x 2 + 12 x - 8) + ( x + 2 - 2) £ 0 Û ( x - 2) ç ( x - 2) 2 + ÷£0 è x+2+2øVD2. 7 x 2 + 48 x + 7 7 x + 3 - 21 = 0Bấm máy đi cho x=0,1428571429. Đừng bao giờ nghĩ đây là nghiệm vô tỷ mà hãy bấm vào máy0,142857142857142857 sẽ được con 1/7. Xong rồi còn gì ( ) æPT Û x 2 + 48 x - 7 + 7 7 x + 3 - 2 = 0 Û (7 x - 1) ç x + 7 + è 7 ö ÷=0 7x + 3 + 2 øVD3. x 2 + x - 1 = ( x + 2) x 2 - 2 x + 2Tiếp tục bấm bạn sẽ có nghiệm x1=3,828427125 haizz. Đây thì quả thật là nghiệm vô tỷ rồi nhưng đừng vội bỏcuộc, ở bước shift + stove lúc nãy bạn bấm số mấy ? nếu bấm số dương rồi thì giờ bấm số âm ta sẽ có nghiệmnữa x2=-1,828427125. Tiếp tục tính đi sẽ có x1x2=-7 và x1+x2=2. è Nhân tử x 2 - 2 x - 7 ( ) æPT Û x 2 - 2 x - 7 = ( x + 2) x 2 - 2 x + 2 - 3 Û ( x 2 - 2 x - 7) ç x+2 ö - 1÷ = 0 è x - 2x + 2 + 3 ø 2VD4. x 3 - 2 x 2 - 3 x - 6 x - 3 + 9 = 0Có x=2 ngon rồi x 3 - 2 x 2 - 3 x + 6 - ( ) æ 6 x - 3 - 3 = 0 Û ( x - 2) ç x 2 - 3 - è ...