Tài liệu tham khảo về toán học - Phương pháp thế

Tham khảo tài liệu tài liệu tham khảo về toán học, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu tham khảo về toán học - Phương pháp thếNguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.netTrong các ph n trư c chúng ta ñã ñi xét m t s d ng h mà có ñư ng l i gi i t ng quát.Trong ph n này chúng ta ñi xét m t s h mà không có ñư ng l i gi i t ng quát. ð tìml i gi i c a nh ng h này1. Phương pháp th :N i dung c a phương pháp này t m t phương trình ho c k t h p hai phương trình c ah ta bi u di n n này qua n kia ho c m t bi u th c này qua bi u th c khác và th vàophương trình còn l i chuy n v phương trình m t n (có th là n ph ). M c ñích c avi c làm này là gi m s n. Tùy thu c vào ñ c ñi m c a bài toán mà ta có nh ng cáchbi n ñ i phù h p. Trong phương pháp này ta c n lưu ý m t s d u hi u sau. • N u trong h phương trình có m t phương trình b c nh t ñ i v i m t n thì ta rút n ñó qua n kia th vào phương trình còn l i và chuy n v gi i phương trình m t n. • V i hai s th c b t kì x ≠ 0; y ta luôn có y = tx (t là s th c c n tìm). V i cách làm này ta s ñư c h v phương trình m t n t. • Phương trình f (x; y) = f (y;x) luôn có m t c p nghi m x = y (các b n th gi i thích vì sao?), do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho v d ng: (x − y)g(x; y) = 0 . • Trong h phương trình n u bi u th c u(x) xu t hi n hai phương trình thì ta có th ñ t t = u(x) ñ làm ñơn gi n hình th c bài toán.  x 3 y = 16  (1)Ví d 1: Gi i h phương trình:  . 3x + y = 8  (2)Gi i :Ta th y (2) là m t phương trình b c nh t hai n nên ta rút n này qua n kia.T phương trình (2) ⇒ y = 8 − 3x thay vào phương trình (1) ta ñư c:x 3 (8 − 3x) = 16 ⇔ 3x 4 − 8x 3 + 16 = 0 ⇔ (x − 2)2 (3x 2 + 4x + 4) = 0 ⇔ x = 2V y h có nghi m là x = y = 2 .Chú ý : cách gi i trên ta th y h có nghi m duy nh t x = y = 2 , ñ ng th i t haiphương trình ta có nh n xét x, y > 0 và phương trình (2) VT là 3x + y , phương trình(1) có tích x 3 y . ði u này g i cho chúng ta liên tư ng ñ n BðT Cauchy. Ta có cáchgi i khác như sau: Ta th y n u h có nghi m (x;y) thì x, y > 0 .Áp d ng bñt Cauchy ta có: 3x + y = x + x + x + y ≥ 4 4 x 3 y = 8 . ð ng th c x y ra⇔ x = y = 2 . Th l i ta th y th a mãn.Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 1Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net Ví d 2:Gi i h phương trình:  (  y(1 + x 2 ) = x 1 + y 2 ) (1) .  x 2 + 3y 2 = 1  (2)Gi i:D th y phương trình (1) có c p nghi m x = y , do ñó ta bi n ñ i phương trình (1) c ah ra th a s (x − y) . x = yTa có: (1) ⇔ x − y + xy(y − x) = 0 ⇔ (x − y)(1 − xy) = 0 ⇔  .  xy = 1 1* x = y ⇒ 4x 2 = 1 ⇔ x = ± . 2 1* x = ⇒ 3y 4 − y 2 + 1 = 0 phương trình vô nghi m. y 1V y nghi m c a h là: x = y = ± . 2  1 1 x − x = y − y (1)Ví d 3: Gi i h phương trình:  . 2y = x 3 + 1  (2)Gi i: xy ≠ 0 x = y x−y 1Ta có (1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y)(1 + ) = 0 ⇔  . xy xy y = − 1  x* x = y thay vào (2), ta ñư c: −1 ± 5x 3 − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 + x − 1) = 0 ⇔ x = 1;x = . 2 1 1 1 3* y = − thay vào (2), ta ñư c: x 4 + x + 2 = 0 ⇔ (x 2 − ) + (x + ) 2 + = 0 vô x 2 2 2nghi m. −1 ± 5V y h ñã cho có ba c p nghi m: x = y = 1;x = y = . 2Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 2Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net  x+y=3x+y Ví d 4: Gi i các h phương trình sau:  . ...