Tập san nhóm giáo viên Toán Việt Nam (Số 1/2022)

Tập san bao gồm các bài viết như: Các kỹ năng căn bản trong bài toán đếm, một kết quả đẹp cho bài toán góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tập san nhóm giáo viên Toán Việt Nam (Số 1/2022) +− ATH ×÷ VIET F NAM NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM TẬP SANSố 1 , tháng 1 năm 2022 NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM CÁC BÀI VIẾT CÁC KỸ NĂNG CĂN BẢN TRONG BÀI TOÁN ĐẾM TRẦN VĂN TRÍ GV chuyên Hùng Vương, Bình Dương Trong bài viết này tôi xin chia sẻ một số kỹ năng căn bản khi giải quyết các bài toán đếm căn bản. Vì mục tiêu tôi hướng tới là các kỹ năng căn bản nhất và gần gủi với giáo viên dạy toán phổ thông và học sinh nên một số bài toán liên quan đến số học, liên quan phép đếm qua tương ứng, truy hồi,... tôi không đề cập đến. Trong bài viết này các khái niệm quy tắc nhân, quy tắc cộng, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp tôi không đề cập đến nên bạn đọc có thể tham khảo trong sách giáo khoa lớp 11. Bài viết mang tính chất chia sẻ kinh nghiệm bản thân nên chắc còn nhiều thiếu sót rất mong nhận được sự đóng góp từ bạn đọc.I – KỸ NĂNG CHIA TRƯỜNG HỢP TRONG KẺ BẢNGTrong một số bài toán chọn đối tượng xảy ra một số trường hợp nhưng tương đối ítta sẽ chia trường hợp và tính trực tiếp. Ta thường kẻ bảng để quan sát cho thuậnlợi. Ví dụ 1 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? A. 120. B. 90. C. 219. D. 215. LỜI GIẢI. Nhận xét. Ta có hai phân môn phải chọn và ta chỉ cho ra ba người phải đủ hai phân môn nên số trường hợp phải xét tương đối nhỏ. Do đó cách tiếp cận chia trường hợp cụ thể phù hợp2 TẠP CHÍ GIÁO VIÊN TOÁN Nhà Toán Học Nhà Vật Lí Số cách chọn Nữ Nam Nam 1 1 1 3×5×4 2 1 C23 × 4 1 2 3 × C24 Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là 60 + 12 + 18 = 90 cách. Chọn đáp án B II – KỸ NĂNG DÙNG PHẦN BÙ Ví dụ 2 Đội văn nghệ của nhà trường gồm 5 học sinh lớp 12A, 6 học sinh lớp 12B. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp 12A có ít nhất một học sinh có mặt trong đội? LỜI GIẢI. Nhận xét. - Nếu ta tiếp cận bài toán trên bằng cách chia các trường hợp có một học sinh 12A, hai học sinh 12A,... Như vật ta chia làm 5 trường hợp trong trường hợp này ta vẫn còn làm tốt. Nhưng nếu số học sinh cả hai lớp đều tăng lên và số học sinh được chọn cũng tăng lên. Khi ấy ta đối diện bài toán nhiều trường hợp. - Nếu ta nhìn với khía cạnh phần bù thì bài toán khá đơn giản. Ta thấy cứ chọn 5 học sinh bất kỳ thì chỉ có hai trường hợp. Trường hợp có học sinh 12A và trường hợp không có học sinh 12A. Do đó kỹ năng áp dụng đếm phần bù trong bài toán này khá hiệu quả. Cụ thể như sau Số cách chọn ra 5 học sinh bất kì trong 11 học sinh là C511 . Số cách chọn ra 5 học sinh mà không có học sinh lớp 12A là C56 (ta chỉ chọn học sinh lớp 12B). Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là C511 − C56 . Ví dụ 3 Đội văn nghệ của nhà trường gồm 5 học sinh lớp 12A, 6 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn? LỜI GIẢI.SỐ 1, THÁNG 1 NĂM 2022 3 Nhận xét. Nếu bài toán này tiếp cận theo kiểu chia trường hợp xét trực tiếp. Ta sẽ nhận thấy mỗi lớp phải lấy ít nhất một học sinh như ta phải lấy thêm 2 học sinh nữa. Khi ấy người làm thường sẽ dẫn đến hai trường hợp sau: Một là người làm tiến hành chia trường hợp và tính trực tiếp. Bài toán vẫn xử lí được nhưng nếu không cẩn thận người làm dễ đếm thiếu trường hợp. Hai là đếm theo kiểu chọn ra ba học sinh ở ba lớp sau đó chọn ra thêm hai học sinh bất kì. Ở cách làm này bị lặp và ta không kiểm soát được số lần lặp nên không hiệu chỉnh số lần lặp để trở thành lời giải đúng. Do đó bài toán trên ta dùng kỹ năng đếm bù thì khá hiệu quả. Chọn ra 5 học sinh tùy ý từ 13 học sinh. Số cách chọn là C513 = 1287 cách. Số cách chọn 5 học sinh có đúng một lớp là C55 + C56 = 7 cách. Số cách chọn 5 học sinh có đúng hai lớp là • Lớp 12A và 12B: C511 − (C55 + C56 ) = 455 ...