THIẾT KẾ TỐI ƯU TIẾT DIỆN TRONG KẾT CẤU DÀN THÉP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHI TUYẾN

Việc đi tìm phương án thiết kế tối ưu theo mục tiêu đề ra và thỏa mãn các điều kiện ràng buộc liên quan đến độ bền vững của công trình là cần thiết trong lĩnh vực xây dựng. Bài toán thiết kế tối ưu kết cấu thép dạng dàn với hàm mục tiêu là trọng lượng bản thân tòan bộ các thanh dàn. Các biến thiết kế là các diện tích tiết diện các thanh dàn. Các điều kiện ràng buộc cần thỏa mãn bao gồm: ràng buộc về điều kiện bền, ràng buộc về điều kiện ổn định Euler, ràng buộc về điều...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
THIẾT KẾ TỐI ƯU TIẾT DIỆN TRONG KẾT CẤU DÀN THÉP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHI TUYẾN THIẾT KẾ TỐI ƯU TIẾT DIỆN TRONG KẾT CẤU DÀN THÉP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHI TUYẾN ThS. NGUYỄN HỮU THỊNH Công ty Công nghệ mới - COTEC 1. Đặt vấn đề Việc đi tìm ph ương án thiết kế tối ưu theo mục tiêu đề ra và thỏa mãn các điều kiện ràng buộc liên quan đến độ bền vững của công trình là cần thiết trong lĩnh vực xây dựng. Bài toán thiết kế tối ưu kết cấu thép dạng dàn với hàm mục tiêu là trọng lượng bản thân tòan bộ các thanh dàn. Các biến thiết kế là các diện tích tiết diện các thanh dàn. Các điều kiện ràng buộc cần thỏa mãn bao gồm: ràng buộc về điều kiện bền, ràng buộc về điều kiện ổn định Euler, ràng buộc về điều kiện chuyển vị, ràng buộc về điều kiện kiến trúc, ràng buộc về điều kiện độ mảnh giới hạn và các điều kiện ràng buộc khác trong quá trình thiết lập bài toán tối ưu. 2. Bài toán quy hoạch phi tuyến giải quyết theo phương pháp dựa trên chuỗi các chương trình tuyến tính Bài toán quy hoạch phi tuyến (Nonlinear Programming - NLP) Phát biểu bài toán: Tìm X =  X1..X2,….,Xn ={X*} T = { X1*, X2*, …, Xn*} sao cho: cực tiểu hóa hàm Z = f(X) chịu các ràng buộc: gj(X)  0 j = 1, …, m hj(X) = 0 j = 1, …, k X L  Xi  X U i i với 1 trong các hàm f(X), gj(X), hk(X) là hàm phi tuyến. Nguyên tắc giải quyết bài toán: Một cách gần đúng, ta tuyến tính hóa các hàm phi tuyến thông qua việc khai triển chuỗi Taylor bậc nhất hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc chung quang điểm X0, trên cơ sở đó, bài toán qui họach phi tuyến được phát biểu lại một cách gần đúng: Cực tiểu hoá : f(X) = f(X0) +  f(X0)  X Chịu các ràng buộc : gj (X)  gj (X0) +  gj (X0)  X hk (X)  hk (X0) +  hk (X0)  X gj (X0)  X  0, j = 1,.., m (Feasible direction). hk (X0)  X  0, k = 1, , l (Feasible direction) X L  X i  δX i  X U i = 1,.., n (move limits) i i Trong đó :  X = X – X0 Việc giải quyết bài toán qui họach phi tuyến dựa trên chuỗi các chương trình tuyến tính được thực hiện: chọn điểm xuất phát X0 nằm trong không gian thiết kế, đưa bài toán tối ưu về dạng qui hoạch tuyến tính bằng cách tuyến tính hóa quanh điểm X0 hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc phi tuyến thông qua khai triển Taylor bậc nhất, tìm nghiệm tối ưu của bài toán dạng qui hoạch tuyến tính mới được thiết lập, lặp lại quá trình như trên (vòng lặp) trong đó nghiệm tối ưu có được từ vòng lặp kế trước chính là cơ sở để chọn điểm xuất phát cho vòng lặp tiếp theo, việc thực hiện vòng lặp liên tục cho đến khi kết quả được hội tụ thỏa đáng. 3. Quy hoạch tuyến tính và thuật toán đơn tính Xét quy hoạch tuyến tính ở dạng chuẩn: n min  c jx j j1 n  aijx j  bi , i = 1, …, m j1 xj  0, j = 1, …, n Việc đầu tiên là đưa biến bù vào và đặt tên mục tiêu là z: n Min z   c x jj j1 n wi  bi   aijx j , i = 1,…, m j1 Các hệ phương trình ở trên mà ta sẽ lập ở mỗi bước lặp gọi là các từ vựng (dictionary). Trừ z ra, các biến nằm ở vế trái các phương trình (tức là biến “phụ thuộc”) ở mỗi bước lặp gọi là biến cơ sở ở bước đó (basic variable). Các biến ở vế phải, tức là biến “độc lập”, được gọi là biến không cơ sở (nonbasic variable). Nghiệm nhận được khi cho các biến không cơ sở giá trị 0 được gọi là nghiệm cơ sở (basic solution). Vậy mỗi từ vựng xác định một nghiệm cơ sở tương ứng. Ở đây khi tiến hành thuật toán đơn hình, biến ban đầu và biến bù được xử lý như nhau, không phân biệt. Do đó ta ký hiệu lại thành một bộ biến x: (x1, …, xn, W1, …, Wm) = (x1, …, xn, xn+1, …, xn+m). Khi đó bài toán trở thành: n  c jx j min z  j1 n x n i  bi   aijx j , i = 1, …, m j1 Các hệ ph ương trình trên được gọi là từ vựng xuất phát. Nội dung của thuật toán đơn hình là chuyển từ một từ vựng sang một từ vựng khác với giá trị mục tiêu tốt hơn. Mỗi từ vựng có m biến cơ sở và n biến không cơ sở. Ta ký hiệu B là tập các chỉ số tương ứng với các biến cơ sở và N là tập các chỉ số tương ứng với các biến không cơ sở khi đó: N = {1, …, n} và B = {n + 1, …, n + m}, nhưng chúng sẽ thay đổi sau mỗi bước. Ở mỗi bước, từ vựng đều có dạng: n z  z   c jx j jN n x i  bi   aijx j , i  B. jN Ở đây dấu gạch trên ký tự để chỉ rằng đại l ượng này thay đổi qua các bước. Ở mỗi b ước lặp, đúng một biến từ không cơ sở trở thành biến cơ sở, đ ược gọi là biến vào (entering variable), và đúng một biến cơ sở trở thành biến không cơ sở, gọi là biến ra (leaving variable). Biến vào được chọn trong các biến có hệ số mục tiêu (tức hệ số trong hàm mục tiêu) âm để làm giảm hàm mục tiêu. Nếu không có hệ số mục tiêu âm thì nghiệm nhận được ở b ước lặp đó là tối ưu. Nếu có nhiều hệ số mục tiêu âm ta được phép lựa chọn. Bây giờ ta chọn một cách tự nhiên (quy tắc thường dùng) là chọn biến có hệ số (âm) nhỏ nhất để hi vọng làm giảm hàm mục tiêu nhiều nhất. Khi đó ta vẫn còn độ tự do khi có nhiều hệ số bằng nhau. Biến ra đ ược chọn để đảm bảo tính không âm của các biến. Giả sử biến vào đã chọn là xk, t ức là giá trị của nó trở thành dương. Khi đó các biến đang là cơ sở sẽ bị thay đổi và bằng: Xi = bi  aik x k ,i  B xk được phép lớn đến mức mọi x1  0, i  B. Tức là: 1 aik , i  B,  x k bi hoặc tương đương: 1  aik  x k   max  iB b i ...