Thuật toán DCA cho một mô hình tối ưu danh mục đầu tư với ràng buộc về lực lượng

Bài viết trình bày việc xét một mô hình tối ưu danh mục đầu tư với độ đo rủi ro là giá trị rủi ro có điều kiện (CVaR). Trên thực tế khi tối ưu danh mục đầu tư thì số lượng tài sản cần có trong danh mục là ràng buộc rất quan trọng (về mặt toán học ta có thể gọi đây là các ràng buộc về lực lượng). Ràng buộc này giúp cho danh mục đầu tư được đa dạng và góp phần hạn chế rủi ro trong tương lai.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Thuật toán DCA cho một mô hình tối ưu danh mục đầu tư với ràng buộc về lực lượng Kỷ yếu Hội nghị KHCN Quốc gia lần thứ XIII về Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR), Nha Trang, ngày 8-9/10/2020 DOI: 10.15625/vap.2020.00216 THUẬT TOÁN DCA CHO MỘT MÔ HÌNH TỐI ƯU DANH MỤC ĐẦU TƯ VỚI RÀNG BUỘC VỀ LỰC LƯỢNG Trần Đức Quỳnh1, Nguyễn Thị Lụa2 1 Khoa Quốc tế, Đại học Quốc gia Hà Nội 2 Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội quynhtd@isvnu.vn, luanguyen.hn@gmail.com TÓM TẮT: Bài toán tối ưu danh mục đầu tư là bài toán xác định phương án đầu tư hiệu quả nhất, mang về lợi nhuận cao nhất với mức rủi ro thấp nhất. Trong nghiên cứu này chúng tôi xét một mô hình tối ưu danh mục đầu tư với độ đo rủi ro là giá trị rủi ro có điều kiện (CVaR). Trên thực tế khi tối ưu danh mục đầu tư thì số lượng tài sản cần có trong danh mục là ràng buộc rất quan trọng (về mặt toán học ta có thể gọi đây là các ràng buộc về lực lượng). Ràng buộc này giúp cho danh mục đầu tư được đa dạng và góp phần hạn chế rủi ro trong tương lai. Do đó chúng tôi đề xuất mô hình tối ưu có xét đến các ràng buộc về lực lượng và độ đo rủi ro CVaR. Bài toán được mô hình hóa dưới dạng một bài toán tối ưu hỗn hợp nguyên với ràng buộc bậc hai lồi (MIQCP). Đây là lớp bài toán tối ưu rời rạc nên khá khó để tìm được nghiệm tối ưu toàn cục. Do đó các tiếp cận địa phương cho lớp bài toán này là các nghiên cứu cần thiết để tăng tốc độ giải bài toán trong trường hợp số chiều lớn. Trong phương pháp tiếp cận của mình, chúng tôi sử dụng kỹ thuật hàm phạt đưa bài toán về dạng một bài toán tối ưu DC (difference of convex functions - hàm mục tiêu là hiệu hai hàm lồi) rồi áp dụng thuật toán DCA (thuật toán hiệu hai hàm lồi) để giải bài toán thu được. Kết quả thu được trên các bộ dữ liệu thử nghiệm khác nhau cho thấy mặc dù là thuật toán địa phương nhưng DCA cho nghiệm rất gần nghiệm tối ưu toàn cục trong thời gian tính toán chấp nhận được. Từ khóa: Thuật toán DCA, danh mục đầu tư, ràng buộc về lực lượng, tối ưu hỗn hợp nguyên. I. GIỚI THIỆU Trong đầu tư, để đưa ra quyết định đầu tư vào các tài sản, các nhà đầu tư thường quan tâm đến hai yếu tố quan trọng: lợi nhuận dự kiến thu được và mức độ rủi ro. Thông thường, các tài sản có lợi nhuận càng cao thì rủi ro càng lớn, và dĩ nhiên các nhà đầu tư luôn muốn hạn chế các rủi ro ấy. Ở các quốc gia có thị trường chứng khoán phát triển, từ rất lâu các nhà đầu tư đã biết áp dụng nguyên tắc “không để tất cả trứng vào cùng một giỏ”, thông qua việc kết hợp các loại tài sản khác nhau để hạn chế rủi ro. Danh mục đầu tư chính là sự kết hợp nắm giữ các loại chứng khoán, hàng hóa, bất động sản, các công cụ tương đương tiền mặt hay các tài sản khác bởi một cá nhân hay một tổ chức đầu tư; mục đích của danh mục đầu tư là làm giảm thiểu rủi ro bằng việc đa dạng hóa đầu tư. Bài toán tối ưu danh mục đầu tư là bài toán có ý nghĩa quan trọng và nhận được sự quan tâm của các nhà đầu tư trên toàn thế giới. Lý thuyết tối ưu hóa danh mục đầu tư được khởi nguồn từ những nghiên cứu đầu tiên của Harry Markowitz năm 1952 [1]. Từ đó, rất nhiều các nghiên cứu tiếp tục được đưa ra, nhằm giải quyết hai vấn đề chính: (1) mô hình một cách đầy đủ bài toán lựa chọn danh mục đầu tư trong thực tế với các rủi ro và các ràng buộc; (2) tính hiệu quả, cụ thể là khả năng giải quyết bài toán cỡ lớn, khi số lượng tài sản và kịch bản đầu tư cần xem xét là rất nhiều. Trong quản trị rủi ro tài chính, giá trị rủi ro (Value at Risk – VaR) là một thước đo rủi ro được sử dụng rộng rãi, VaR của tài sản hoặc một danh mục thể hiện nguy cơ tổn thất lớn nhất có thể xảy ra trong một khoảng thời gian với một mức độ tin cậy nhất định, trong điều kiện thị trường hoạt động bình thường. Mặc dù được sử dụng khá phổ biến, VaR vẫn có những hạn chế nhất định. VaR chỉ giúp ta trả lời câu hỏi “có thể mất tối đa bao nhiêu trong phần lớn các tình huống”. Tuy nhiên, VaR chưa trả lời được câu hỏi: trong phần nhỏ các tình huống (1 % hay 5 % tình huống xấu nhất ứng với các diễn biến bất thường của thị trường) khi xảy ra, mức tổn thất có thể là bao nhiêu. Do đó nếu tiếp tục sử dụng VaR như công cụ quản trị rủi ro có thể gặp hậu quả: tổn thất thực tế lớn hơn nhiều so với ước tính theo VaR. Để khắc phục hạn chế của VaR, Uryasev và Rockafellar [2] đã giới thiệu giá trị rủi ro có điều kiện (Conditional Value at Risk – CVaR). CVaR cho biết giá trị trung bình của các mức tổn thất vượt ngưỡng VaR. Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu một mô hình lựa chọn danh mục đầu tư dựa trên thước đo rủi ro CVaR. Để có thể đưa ra các phương án hợp lý, phù hợp với thực tế và đáp ứng nhu cầu đa dạng hóa danh mục đầu tư của các nhà đầu tư, chúng tôi xem xét đưa vào mô hình các ràng buộc về lực lượng, bao gồm các giới hạn về mức đầu tư vào mỗi tài sản và giới hạn số lượng tài sản trong danh mục. Bài toán được mô hình hóa dưới dạng một bài toán tối ưu hỗn hợp nguyên với ràng buộc bậc hai lồi (MIQCP). Để giải bài toán trên chúng tôi biểu diễn ràng buộc biến nguyên dưới dạng một ràng buộc lõm không âm sau đó sử dụng phương pháp hàm phạt để đưa về dạng bài toán tối ưu DC (hàm mục tiêu là hiệu hai hàm lồi với ràng buộc lồi). Sau đó chúng tôi áp dụng thuật toán DCA (một thuật toán địa phương để giải bài toán tối ưu DC) để giải bài toán thu được. Ý tưởng cơ bản của thuật toán DCA khá đơn giản là xấp xỉ hàm DC bởi một dãy các hàm lồi, ở mỗi bước ta sẽ đi giải bài toán lồi xấp xỉ đến khi điều kiện dừng được thỏa mãn. Thuật toán DCA được đưa ra lần đầu tiên năm 1985 bởi nhà toán học Phạm Đình Tào. Khoảng 20 năm vừa qua thuật toán này đã cho thấy là một trong những thuật toán địa phương ...