Tích phân hàm phức_Chương 3

Tài liệu toán học dành cho sinh viên chuyên ngành điện
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tích phân hàm phức_Chương 3 CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN HÀM PHỨC §1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM BIẾN PHỨC1. Định nghĩa: Cho đường cong C định hướng, trơn từng khúc và trên C cho mộthàm phức f(z). Tích phân của f(z) dọc theo C được định nghĩa và kí hiệu là: n lim ∑ f ( t k )(z k − z k −1 ) = ∫ f (z)dz (1) n →∞ k =1 CTrong đó a = zo , z1,..,zn = b là những điểm kế tiếp nhau trên C; a và b là hai mút, tk làmột điểm tuỳ ý của C nằm trên cung [ zk, zk-1]. Giới hạn (1) thực hiện sao cho max lk→ 0 với lk là độ dài cung [ zk, zk-1].2. Cách tính: Đặt f(z) = u(x,y) + jv(x,y), zk = xk + jyk ∆xk = xk - xk-1, ∆yk = yk - yk-1 tk = αk +jβk; u(αk , βk) = uk; v(αk , βk) = vk n n nta có: ∑ f ( t k )(z k − z k−1 ) = ∑ (u k ∆x k − v k ∆y k ) + j∑ (u k ∆x k + v k ∆y k ) (2) k =1 k =1 k =1Nếu đường cong C trơn từng khúc và f(z) liên tục từng khúc, giới nội thì khi n→∞ vếphải của (2) tiến tới các tích phân đường của hàm biến thực. Do đó tồn tại: ∫ f (z) = ∫ (udx − vdy) + j∫ (udy + vdx) (3) C C C Nếu đường cong L có phương trình tham số là x = x(t), y = y(t) và α≤ t ≤ β thìta có thể viết dưới dạng hàm biến thực: z = x(t) + jy(t) = z(t) α≤ t ≤ βvới z(a) = α; z(b) = β. Khi đó ta có công thức tiện dụng: β ∫ f (z)dz = ∫ f [ z( t ) ].z′( t ) dt (4) C αVí dụ 1: Tính I = ∫ Rezdz , L là đoạn thẳng nối 2 điểm 0 và 1 + j theo chiều từ 0 đến L y1+j. y B j L C O 1 x -a O a xPhương trình tham số của L có thể lấy là: ⎧x ( t ) = t ⎨ Vậy z(t) = (1 + j)t, t thực t ∈ [0, 1] ⎩ y( t ) = t 51Điểm O ứng với t = 0 và điểm B ứng với t = 1. Theo (4): 1 1 1 1+ j I = ∫ Re(1 + j) t.z′( t )dt = ∫ (1 + j) tdt = (1 + j) ∫ tdt = 0 0 0 2 dzVí dụ 2:Tính I = ∫ , L là nửa cung tròn nằm trong nửa mặt phẳng trên, nối điểm -a L zvà a, chiều lấy tích phân từ -a đến a.Phương trình tham số của đường cong L là: ⎧x = acos t ⎨ ⎩ y = asin tVậy z(t) = a(cost + jsint) = aejt, z’(t) = jaejt.Điểm -a ứng với t = π, điểm a ứng với t = 0. Theo (4): dz 0 jae jt dt 0 I=∫ =∫ jt = j∫ dt = − jπ L z π ae πVí dụ 3: Tính I = ∫ (1 + j − 2 z )dz , C là cung parabol y = x2, nối gốc O và điểm B có Ctoạ độ (1,1).Hàm f(z ) = 1 + j − 2 z = 1 + j − 2( x − jy) . Tách phần thực và phần ảo ta có u(x, y)=1-2xv(x, y) = 1 + 2y. Dùng (3) ta có: I = ∫ (1 − 2 x )dx − (1 + 2 y)dy + j∫ (1 + 2 y)dx + (1 − 2 x )dy C CChuyển mỗi tích phân đường loại 2 thành tích phân xác định ta có: 1 1 ∫ (1 − 2x )dx − (1 + 2 y)dy = ∫ (1 − 2x )dx − (1 + 2x )2 xdx = ∫ (−4x 3 − 4 x + 1)dx = − 2 2 C 0 0 1 1 4 ∫ (1 + 2 y)dx + (1 − 2x )dy = ∫ (1 + 2x )dx + (1 − 2 x )2 xdx = ∫ (−2 x 2 + 2 x + 1)dx = 2 C 0 0 3Thay vào trên ta có: 4j I = −2 + 3Ví dụ 4: Tính I = ∫ z 2 dz , AB là đoạn thẳng nối điểm A là toạ vị của số phức 2 và ABđiểm B là toạ vị của số phức j. f(z) = z2 = (x + jy)2 = (x2 - y2 + 2jxy) nên u = x2 - y2 và v = 2xy. Theo (3) ta có: I = ∫ ( x 2 − y 2 )dx − 2 xydy + j ∫ ( x 2 − y 2 )dy + ...