Tiểu luận: Lý thuyết vành

Trong toán học, lý thuyết vành nghiên cứu về vành, các cấu trúc đại số mà trong đó các phép cộng và phép nhân được định nghĩa và có các tính chất tương tự như các tính chất quen thuộc của số nguyên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tiểu luận:Lý thuyết vành B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN ********* HÀ DUY NGHĨACÁC ĐI U KI N Ci, i = 1, 2, 3 TI U LU N LÝ THUY T VÀNH Quy nhơn, tháng 12 năm 2009 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN ********* HÀ DUY NGHĨACÁC ĐI U KI N Ci, i = 1, 2, 3 CAO H C TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đ i s và lý thuy t s TI U LU N LÝ THUY T VÀNH Ngư i hư ng d n khoa h c TS. MAI QUÝ NĂM Quy nhơn, tháng 12 năm 2009 i M CL C Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 L im đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Chương 1 M ts ki n th c cơ s 3 1.1 M t s khái ni m và ví d ..................... 3 1.2 M t s tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Các đi u ki n CiChương 2 8 2.1 Các khái ni m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Các đi u ki n Ci , i = 1, 2, 3 2.1.1 ................ 8 2.1.2 Môđun liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Các tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 L IM ĐU Cùng v i s phát tri n c a toán h c hi n đ i nói chung, lý thuy t môđunđã đư c các nhà toán h c quan tâm và đã đ t đư c nhi u k t qu xu t s c. Vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis đưa ra khái ni m CS-môđun (Ex-tending Môđun ). Khi l p CS-môđun ra đ i thì lý thuy t môđun đã đư c pháttri n m nh m và có nhi u ng d ng quan tr ng trong vi c nghiên c u lý thuy tvành. Vi c nghiên c u các môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3) là n n t ng chovi c nghiên c u các CS- môđun và các l p môđun khác, cho nên tôi ch n đtài nghiên c u các môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3) làm đ tài ti u lu nk t thúc b môn. Ti u lu n g m hai chương cùng v i ph n m đ u, k t lu n và tài li u thamkh o. Chương 1: Trình bày các đ nh nghĩa, ví d và các tính ch t cơ b n có liênquan đ n chương sau c a ti u lu n. Chương 2: Trình các k t qu các môđun con đóng, môđun đ u (uniform) th ađi u ki n C1 , h ng t tr c ti p c a môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3) cũnglà môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2, 3). Đ c bi t các M nh đ 2.2.4, 2.2.5cho ta l p nh ng môđun th a đi u ki n Ci , (i = 1, 2). M c dù b n thân đã r t c g ng trong h c t p, nghiên c u và đư c s hư ngd n nhi t tình c a th y giáo hư ng d n, nhưng do năng l c c a b n thân vàth i gian còn h n ch nên ti u lu n khó tránh kh i nh ng thi u sót. Tôi r tmong nh n đư c s góp ý c a quý th y cô và các b n đ ti u lu n đư c hoànthi n hơn. Cu i cùng tôi xin chân thành c m ơn TS. Mai Quý Năm ngư i đã t n tìnhgiúp đ , cùng t p th l p cao h c toán khoá 11 t o đi u ki n cho tôi hoànthành ti u lu n này. 2Chương 1 M TS KI N TH C CƠ S Trong toàn b ti u lu n, vành luôn đư c xét là vành k t h p có đơn v kýhi u 1 và các môđun là các môđun ph i Unita trên vành nào đó, thông thư ngxét vành R và m t môđun trên vành R g i là R- môđun .1.1 M t s khái ni m và ví dĐ nh nghĩa 1.1.1. Cho môđun M và N ⊆ M . Môđun con N đư c g i là c ty u trong M , ký hi u là N ⊆∗ M , n u N ∩ K = 0 v i m i môđun con kháckhông K c a M . N u N là môđun con c t y u c a M , thì ta nói r ng M là m r ng c t y uc a N.Ví d 1.1.2. Môđun M ⊆∗ M ; nZ ⊆∗ Z, ∀n = 0.Đ nh nghĩa 1.1.3. Môđun U đư c g i là môđun đ u (uniform) n u b t kỳmôđun con A và B khác 0 c a U thì A ∩ B = 0, hay m i môđun con kháckhông c a U là môđun c t y u trong U .Ví d 1.1.4. Z môđun Z là đ u vì b t kỳ 0 = A, B ⊆ Z thì A = nZ, b = mZ,v im, n ∈ N∗ và A ∩ B = [m, n]Z = 0Đ nh nghĩa 1.1.5. Cho môđun M và N ⊆ M đư c g i là đóng trong M n uN không có m r ng th t s trong M . Nói cách khác N đư c g i là đóng trongM n u m i môđun con K = 0 c a M mà N ⊆ K thì K = N. 1.1.6. A và B là hai môđun con c a M th a mãn M = A ⊕ B thìVí dmôđun B là đóng trong M. 3Đ nh nghĩa 1.1.7. Cho môđun M và N ⊆ M . Môđun con K c a M đư c g ilà bao đóng c a môđun con N trong M n u K là môđun con t i đ i trong Msao cho N ⊆∗ K .Ví d 1.1.8. Z-môđun , 2Z có bao đóng là Z.Đ nh nghĩa 1.1. ...