Tiểu luận thuyết tương đối tổng quát

Trong tiểu luận này tôi trình bày về hai phần , đó là : Các bề mặt hai chiều và phép đo độ cong của mục độ cong không gian . Trong hai phần này tôi tóm tắ lại , đưa ra cái ý chính và chứng minh , làm rõ tất cả các công thức có liên quan
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tiểu luận thuyết tương đối tổng quát 1 TI U LU N THUY T TƯƠNG Đ I T NG QUÁT Nguy n Đình HiênTrong ti u lu n này tôi trình bày v hai ph n, đó là: Các b m t hai chi u vàphép đo đ cong. c a m c Đ Cong Không Gian. Trong hai ph n này tôi tómt t l i, đưa ra các ý chính và ch ng minh, làm rõ t t c các công th c có liên quan. 2 THUY T TƯƠNG Đ I T NG QUÁT4.1 M đu4.2 Nguyên lý tương đương4.3 Đ cong không gian • 4.3.1 Gi i thi u v các khái ni m cơ b n c a đ cong d a vào các thí d 2-chi u. • 4.3.2. Gi i thi u v phương pháp đ đo đ cong. • 4.3.3. Các vectơ c c b (local vectors) và cách đ so sánh các vectơ này t i các vtrí khác nhau trong không gian cong. • 4.3.4. Các h th c gi a đ cong và phương trình metric. • 4.3.5 Nói v không gian đ i x ng c u 3 chi u, nó chu n b cho phương th c kh osát sau này v đ cong không-th i gian trong các m u vũ tr đ ng nh t.4.3.1 Các b m t hai chi u Khi nói v đ cong trong th gi i 3 chi u b ng vi c xem xét m t sinh v t hai chi uđang s ng trong m t b m t cong hai chi u. M t sinh v t hai chi u, v th c t là ch quansát đư c các hư ng ch a trong b m t hai chi u. Nhưng sinh v t này tin r ng nó có th quansát và đo đư c theo t t c các hư ng. Sinh v t này s nh n đư c các tín hi u sáng hai chi unhưng không nh n bi t đư c b t kỳ đ cong nào. Trong ba chi u, chúng ta có th nh n bi tr t rõ đ cong mà sinh v t đó không nh n bi t đư c. Các không gian hai chi u thì d hình dung. Vì v y ngư i ta dùng nó đ gi i thi u cáckhái ni m v đ cong không - th i gian (ba chi u không gian và m t chi u th i gian). Hình 4.6 Hình 4.7 Hình 4.6 bi u di n m t b m t hai chi u là m t c u. Hình 4.7 bi u di n m t b m t hai chi u là m t tr . M c dù c hai đ u là cong nhưng có s khác nhau gi a chúng. B m t tr có thđư c x d c theo chi u dài c a nó (AA’) và đư c tr i ra trên m t m t ph ng, nhưng m tc u thì không th . M t tính ch t c a m t tr là n u các đư ng ng n nh t gi a các c p đi m, ví d như 3BC, đư c v trên b m t thì chúng s tr thành đư ng th ng khi m t tr b r c và tr i ratrên m t ph ng. Do đó m t tr đư c g i là th c s ph ng, m c dù không ph i ph ng haichi u, và m t c u thì th c s cong. Gi thi t r ng các t a đ tr c giao Descartes đư c v trên m t t gi y hình ch nh tvà r i nó đư c cu n l i thành m t m t tr . Các kho ng cách s đo đư c trên b m t gi am t c p đi m mà hi u t a đ c a chúng là x và y đư c tính theo đ nh lý Pythagore s2 = x2 + y 2. Nhưng, vi c xây d ng m t h t a đ tr c giao Descartes đ có th bao ph h t m tc u thì không th đư c. (xem thêm ví d trong sách) M c dù v y, h t a đ Descartes v ncó th bao ph t t n u ta chia m t c u thành các mi n có kích thư c đ nh so v i bán kínhthì ta có th xem như là ph ng. Khi đó ta nói m t cách c c b r ng b m t đã đư c Euclidhóa và các kho ng cách đư c cho b i phương trình Pythagore d ng vi phân: ds2 = dx2 + dy 2,trong đó dx, và dy là kho ng cách t a đ c a hai đi m g n k nhau trên b m t. M t h t a đ có th đư c dùng đ bao ph toàn b m t c u là các góc c c (θ, ϕ).V i g c t a đ t i tâm Trái Đ t, góc θ bi n thiên t 00 C c B c đ n 1800 C c Nam,và có liên h v i vĩ đ . ϕ liên quan v i kinh đ và ch y t −1800 đ n +1800 . M t cách c cb , nghĩa là nói đ n thang đo nh so v i bán kính cong r c a b m t, kho ng cách gi a haiđi m (θ, ϕ) và (θ + dθ, ϕ + dϕ) là r dθ theo vĩ đ và r sinθ dϕ theo kinh đ . Khi đó kho ngcách toàn ph n đư c cho b i phương trình b c hai ds2 = r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ2 .Phương trình này đư c g i là phương trình metric.Phương trình metric là m t tính ch t cơb n c a m t b m t. Vì v y, đ bao ph toàn b b m t cong hay không gian cong thì c n ph i dùng ht a đ Gauss ( h t a đ đã đư c t ng quát hóa ). Các kho ng cách c c b đư c cho b im t phương trình metric theo các kho ng cách c a t a đ Gauss. Các không gian mà chúng ta quan tâm đây đ u thu c không gian Riemann, chúngđư c phân bi t v i các không gian khác b i các phương trình metric toàn phương theokho ng cách t a đ . Tính ch t ch ch t c a các không gian Riemann: Luôn luôn có th làm trùng kh pm t mi n b t kỳ c a không gian Riemann v i m t không gian ph ng đư c l y trong m tmi n đ nh . Hay ta có th nói r ng, ta luôn có th v đư c m t đư ng ti p tuy n, ti p xúcv i m t đư ng cong t i m t đi m b t kỳ. Ta xét m t b m t Riemann hai chi u v i phương trình metric ds2 = g11 dv 2 + 2g12 dv dw + g22dw2 (4.1)trong đó (v, w) là các t a đ Gauss nào đó, g11 , g12 và g22 là các hàm c a v trí. Ch n m tđi m P v i t a đ (x, y) trên b m t và Euclide ...