TÌM HIỂU TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Tài liệu học môn toán tham khảo trình bày kiến thức về tích phân xác định. Tài liệu học tập hay và bổ ích. Mời các bạn cùng tham khảo. Giáo trình giải tích toán học tham khảo, tập 1, chương 6: Tích phân xác định. Nội dung chương 6: Định nghĩa tích phân xác định; Điều kiện khả tích; Các lớp hàm khả tích; Các tính chất cơ bản của tích phân; Nguyên hàm và tích phân xác định; Tính tích phân xác định; Một số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân xác định.....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
TÌM HIỂU TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNHTÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài toán diện tích y = f (x) Sa bChia S thành nhiều diện tích conXấp xỉ các diện tích con bằng diện tích các hình chữ nhật conChia S càng nhỏTổng diện tích xấp xỉ càng gần S ĐỊNH NGHĨAPhân hoạch P của [a, b] là tập hợp các điểm chia của[a, b] thỏa mãn a≡ x0 < x1 < … n −1 S (P , f ) = ∑ f (ξ i )( xi +1 − xi ) i =0f khả tích ⇔ tồn tại giới hạn hữu hạn của S(P, i f) khi d→ 0 (không phụ thuộc P) f(ξ ) a=x0 xi xi+ xn=b i 1 ξ b lim S (P , f ) = ∫ f ( x )dx d →0 a Ví dụ về tổng tích phânCho f(x) = x trên [0,1], phân hoạch đều [0,1] thành nđoạn bằng nhau bởi các điểm 0 = x0 1i 1 1xi +1 − xi = ⇒ d = , ξ i = xi = 0 + i = , n n nn i f (ξ i ) = ξi = n ξ0 1 ξ1 ξ2 ξ3 n −1 n −1 i1S (P , f ) = ∑ f (ξ i )( xi +1 − xi ) = ∑ × i =0 n n i =0 n −1 1 1 = 2 ∑ i = 2 [0 + 1 + ... + (n − 1)] n i =0 n (n − 1)n 1 → = 2 d →0 2 2n 1 1⇒ ∫ xdx = 2 0 Điều kiện để f khả tích trên [a, b]Hàm f liên tục trên [a, b] ngoại trừ 1 số hữu hạn cácđiểm gián đoạn loại 1 thì khả tích trên [a,b]. b ( Khi đó ∫ f ( x )dx là tích phân xác định.) a 2 sin xVí dụ: ∫ x dx là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1. −1 2 ∫ x ln xdx là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 1. 0 2 ∫ ln xdx không là tpxđ vì x = 0 là điểm gđ loại 2. 0 Tính chất hàm khả tích1. f khả tích trên [a, b] thì f bị chận trên [a,b]2. f khả tích trên [a,b] thì | f | khả tích trên [a,b]3. f khả tích trên [a,b], m và M lần lượt là gtnn và gtln của f trên [a,b], khi đó b ∗m(b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a) a b b * ( x ) ≥ g ( x ) ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx f a a Tính chất hàm khả tích b b4. cf ( x )dx = c ∫ f ( x )dx , ∫ a a b b b [f ( x ) + g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx ∫ a a a a a b ∫ 6. f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx ∫5. f ( x )dx = 0 b a a b c b 7. f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ∫ a a c Tính chất hàm khả tích b ∫8. dx = b − a a b +T b ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx1. f(x) tuần hoàn với chu kỳ T: a +T a a ∫ f ( x )dx = 011. f lẻ trên [-a, a]: −a a a ∫ f ( x )dx = 2∫ f ( x )dx f chẵn trên [-a, a] −a 0 Định lý giá trị trung bìnhf liên tục trên [a,b], khi đó tồn tại c ∈[a,b] sao cho b f (c )(b − a) = ∫ f ( x )dx a x t2 lim ∫ e dxÁp dụng: tính giới hạn x →+∞ 0 2 et liên tục trên [0, x], theo định lý, tồn tạihàmc∈ [0,x] sao cho x t2 c2 ∫e dx = ( x − 0)e > x → +∞ x →+∞ 0ĐỊnh lý cơ bản của phép tính vi tích phân* Nếu f khả tích trên [a,b] thì hàm số ...