Tìm hiểu về các phương pháp thiết kế tối ưu (Optimal design methods): Phần 2

Phần 2 của cuốn sách "Các phương pháp thiết kế tối ưu (Optimal design methods)" gồm 4 chương cuối, trình bày về: Chương 6 - Các phương pháp trực tiếp để giải các bài toán có ràng buộc; Chương 7 - Giới thiệu về phương pháp thuật giải di truyền; Chương 8 - Phương pháp các khái niệm xấp xỉ; Chương 9 - Giới thiệu về chương trình vẽ đường đồng mức;...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tìm hiểu về các phương pháp thiết kế tối ưu (Optimal design methods): Phần 2 Chapter 6. Direct method for constrained problemsChapter 6. Direct method for constrained problems Ph−¬ng ph¸p trùc tiÕp ®Ó gi¶i c¸c bμi to¸n tèi −u hãa cã rμng buéc6.1. LAGRANGE MULTIPLIER METHOD Phương pháp nhân tử Lagrange 6.1.1. Lagrange Multiplier for one equality constraint For the constrained problem: find ⃗, such that ? ⃗ → ??? ? ? subject to: ℓ x ⃗ 0 (6.1) We assume that ℓ ⃗ ? 0 can be used to solve for one variable in terms of others as: x ∅ x ,x ,…,x (6.2) Substituting equation (6.2) into equation (6.1), we eliminate ? from the costfunction and obtain the unconstrained problem as: Find ? ? , ? ? , … , ? ? , such that: f ∅ x ,x ,…,x ,x ,x ,…,x → ??? (6.3) The necessary condition for the optimum point ⃗ ∗ of equation (6.3) can be expressed as: ? df f f    .  0, i  2,3,, n (6.4) dxi xi  xi Since ∅ ? , ? , … , ? may be an implicit function (hàm ẩn), we don’t know , i  2,3,, n .xi However, we have:  d  x  l l  ℓ ∅, x , x , … , x 0, and   .  0, i  2, 3,  , n. dx i x i  x i l   x i or,  (6.5) x i l  115Chapter 6. Direct method for constrained problems Substituting equation (6.5) into equation (6.4), we have: f f l    0, i  2, 3,  , n (6.6) x i l x i  Define the Lagrange multiplier λ as: f λ =   (6.7) l and obtain: f l  λ.  0, i  2,3,, n (6.8) xi xi Rearranging equation (6.7), we have: f l  λ. 0   f l or, + λ. 0 (6.9) x i xi Combining equation (6.8) and equation (6.9), we have the necessary conditions forthe optimum points of equation (6.1) as: f l + λ.  0 , i=1, 2, …, n and ℓ x ⃗ 0 x i xi If we define the Lagrange function L ( ⃗, ? as: ? L (x λ ⃗, f x ⃗ ⃗ λℓ xthen, the necessary conditions of equation (6.1) can be expressed as: ∇ L (x λ ⃗, 0 (6.10) or,  f l ∇ ⃗ L (x, λ)  0  λ.  0,i  2,3,, n xi xi ∇ L (x λ ⃗, 0→ℓ x ⃗ 0 Equation (6.10) has n+1 equations, and it can be used to solve n+1 unknown⃗ ??? ?∗?∗116 Chapter 6. Direct method for constrained problems Physical meaning of the Lagrange multiplier for only one equality constraint: Ý nghĩa vật lý của nhân tử Lagrange đối với một ràng buộc đẳng thức duynhất: 1. The gradients of the Lagrange function are zeros at the candidate optimumpoints. So: ?? ⃗ ∗ , ?∗ ? 0 or ?? ⃗ ∗ ? ?∗ ?ℓ ⃗ ∗ ? 0 or ?? ⃗ ∗ ? ?∗ ?ℓ ⃗ ∗ ...