Tính đơn điệu của hàm số

Tài liệu tham khảo ôn tập môn Toán bài số 2: tính đơn điệu của hàm số. Tài liệu gồm lý thuyết và các bài tập mẫu minh hoạ có lời giải rất chi tiết và dễ hiểu dành cho các bạn học sinh.Tính đơn điệu của hàm số Định lý: (điều kiện cần) Định lý: (điều kiện đủ) Định lý mở rộng B. Cực tri của hàm số: Định lý: Định lý: (dấu hiệu thứ nhất) Định lý : (dấu hiệu...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính đơn điệu của hàm sốTính đơn điệu của hàm số HÀM S [1. TÍNH ĐƠN ĐI U C A HÀM S D ng 1: Tính đơn đi u c a hàm sI. Ki n th c cơ b n1. Đ nh nghĩaGi s hàm s y = f(x) xác đ nh trên K: + Hàm s y = f(x) đư c g i đ ng bi n trên kho ng K n u: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) + Hàm s y = f(x) đư c g i là ngh ch bi n trên kho ng K n u: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )2. Qui t c xét tính đơn đi ua. Đ nh líCho hàm s y = f(x) có đ o hàm trên K: + N u f’(x) > 0 v i m i x thu c K thì hàm s đ ng bi n + N u f’(x) < 0 v i m i x thu c K thì hàm s ngh ch bi nb. Qui t c B1: Tìm t p xác đ nh c a hàm s B2: Tính đ o hàm c a hàm s . Tìm các đi m xi (i = 1, 2,…,n) mà t i đó đ o hàm b ng 0 ho c khôngxác đ nh. B3: S p x p các đi m xi theo th t tăng d n và l p b ng bi n thiên. B4: Nêu k t lu n v các kho ng đ ng bi n, ngh ch bi n.II. Các ví dLo i 1: Xét s bi n thiên c a hàm sVí d 1. Xét s đ ng bi n và ngh c bi n c a hàm s : 1 1 a. y = x3 − x 2 − 2 x + 2 b. y = -x 2 + 3 x + 4 e. y = x ( x − 3), (x > 0) 3 2 x-1 c. y = x 4 − 2 x 2 + 3 d. y = x +1Ví d 2. Xét s bi n thiên c a các hàm s sau: a. y = 3x 2 − 8 x 3 b. y = x 4 + 8 x 2 + 5 c. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x 3- 2x x 2 − 2x + 3 d. y = e. y = f. y = 25-x 2 x+7 x +1Lo i 2: Ch ng minh hàm s đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên kho ng xác đ nh.Phương pháp+ D a vào đ nh lí.Ví d 3. Ch ng minh hàm s y = 2 x − x 2 ngh ch bi n trên đo n [1; 2]Ví d 4 a. Ch ng minh hàm s y = x 2 − 9 đ ng bi n trên n a kho ng [3; + ∞ ). 4 b. Hàm s y = x + ngh c bi n trên m i n a kho ng [-2; 0) và (0;2] xVí d 5. Ch ng minh r ng 3− x a. Hàm s y = ngh ch bi n trên m i kho ng xác đ nh c a nó. 2x +1 2 x 2 + 3x b. Hàm s y = đ ng bi n trên m i kho ng xác đ nh c a nó. 2x +1 c. Hàm s y = − x + x 2 + 8 ngh ch bi n trên R.D ng 2. Tìm giá tr c a tham s đ m t hàm s cho trư c đ ng bi n, ngh ch bi n trên kho ng xác đ nh chotrư cPhương pháp: + S d ng qui t c xét tính đơn điêu c a hàm s . 1 + S d ng đ nh lí d u c a tam th c b c haiVí d 6. 1Tìm giá tr c a tham s a đ hàm s f ( x) = x3 + ax 2 + 4 x + 3 đ ng bi n trên R. 3Ví d 7. x 2 + 5x + m 2 + 6Tìm m đ hàm s f ( x) = đ ng bi n trên kho ng (1; +∞) x+3 mVí d 8. V i giá tr nào c a m, hàm s : y = x + 2 + đ ng bi n trên m i kho ng xác đ nh c a nó. x −1Ví d 9 x3Xác đ nh m đ hàm s y = − + (m − 1) x 2 + (m + 3) x đ ng bi n trên kho ng (0; 3) 3Ví d 10 mx + 4 Cho hàm s y = x+m a. Tìm m đ hàm s tăng trên t ng kho ng xác đ nh b. Tìm m đ hàm s tăng trên (2; +∞) c. Tìm m đ hàm s gi m trên (−∞;1)Ví d 11 Cho hàm s y = x 3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 . Tìm m đ hàm s : a. Liên t c trên R b. Tăng trên kho ng (2; +∞)Ví d 12 (ĐH KTQD 1997) Cho hàm s y = x3 − ax 2 − (2a 2 − 7 a + 7) x + 2(a − 1)(2a − 3) đ ng bi n trên [2:+∞)D ng 3. S d ng chi u bi n thiên đ ch ng minh BĐTPhương phápS d ng các ki n th c sau: + D u hi u đ hàm s đơn đi u trên m t đo n. + f ( x) đ ng bi n trên [a; b] thì f (a) ≤ f ( x) ≤ f () + f(x) ngh ch bi n trên [a; b] thì f (a) ≥ f ( x) ≥ f (b)Ví d 1. Ch ng minh các b t đ ng th c sau: π 1 x2 1a. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + x − < 1 + x < 1 + x, 0 < x < +∞ 2 2 8 2 2 3 x xc. cosx > 1 - ,x ≠ 0 d. sinx > x - , x>0 2 6Ví d 2.Chohàm s f(x) = 2sinx + tanx – 3x  π a. Ch ng minh r ng hàm s đ ng bi n trên n a kho ng 0;   2 π b. Ch ng minh r ng 2sin x + tan x > 3 x, ∀x ∈ (0; ) 2Ví d 3Cho hàm s f ( x) = t anx - x  πa.Ch ng minh hàm s đ ng bi n trên n a kho ng 0;   2 x 3 πb. Ch ng minh tan x > x + , ∀x ∈ (0; ) 3 2Ví d 3 4 πCho hàm s f ( x) = x − t anx, x ∈ [0; ] π 4 ...