Toán học - Hình học tuyến tính: Phần 1

Tài liệu có kết cấu gồm 4 chương. Phần 1 gồm nội dung các chương: Chương 1 - Không gian Vectơ, chương 2 - Không gian Afin, chương 3 - Không gian Ơclit. Cuối mỗi chương đều có bài tập vận dụng. Mời các bạn tham khảo Tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán học - Hình học tuyến tính: Phần 1 LÒI NÓI ĐẦU MỘI lùn, khi hon MỊ di p lùi CHÙ- (It; nhói hòi (MU : « Có con dường nào) khác, ngấn hon, de if.; vào lỉìiìỉi học khùng ? », nhà hình học vĩ đại đã trả lời rang : « KhôntỊ ỉ khàng cô con dường riêng nào dành cho Hoàng gia cả ĩ i). (làu nói dỏ cua 0(7/7 có nghĩa lù nqoùỉ phương pháp dà được trì inh bày (rong lập « XyiiỊỊỪn lý » noi tiếng của ônq, không còn cách nào hay hơn dè trình bày môn Hình học. Trong tập « Nguyên lỵ », Hình học (lược trình bày như ỉa một khoa học SUI) diễn dồa trên một hệ thống tiên dê má sau này Hinbe đã bo sang và hoàn thiện thêm. Hơn hai tiqàn nám sau khi « Nguyên hj » ra đời, mọi cuốn sách giáo khoa vê Hình học đêu lồ sồ sao, chép lại ơcỉit, có thay đồi chùi li vìỉ nội dúm] và thứ tồ mà thôi. Như vậy, đúng là không cỏ con dường nào khác, ngoài con đường mà ơcỉit dã vạch ra, Tuy vạy, lừ khi phát hiện ra những cấu trúc toán học (như cấu trúc không gian vectơ, cẩu trúc nhỏm,...) thì tình hình ỉm nên khác hẳn. Người la dễ dàng nhận thấy rằng khổng gian ơcỉỉt chinh là một không gian tuyên tính trên đỏ (ỉu xác dinh một tích vô hường cùa hai vectơ. Bời vậy mọi định lỵ của hình học ơcỉỉt đều cỏ thề phiên dịch trồc nếp từ một định lý nào đỏ của đại sổ tuyến tính. Trong lúc đủ không gian tuyển tỉnh (còn gọi là khàng qian vectơ) dược xây dồng trên một số tiên đề rai đơn giản và rõ ràng. Bày giờ đối vời một tập hợp nào đó, ta có the dề dànq xảy dồng thành một không gian ơcỉít trên nên là không gian tuyến tính bằng một vài liên tít dơn if Hin. Nhít vậy là đã xuất hiện « con dường dế Dương » mà ơđit cho là không có. Những định lý của hình học (ft Ui trước kia dược chứng minh phức lạp vả day mưu mẹo thì nay, btíny con đường này, cỏ the chửng minh hết sức đơn giản bằng một vài phép tinh. Nyoài ra dồa vào khònq gian luyến tinh người la còn xây (lồng dược ĩihừny hình học khác vời hình học 0cỉỉt như hình học afin, hình học xạ ảnh, hỉnh học giả ơcỉỉt, hình học Lobascpski, hình học Riman... Khư :ìày, con dirừnq mủi này tổ ra hơn hằn con đường mồ ơclỉt đã đầUỊhị. Trong cuốn sách này, hình học sẽ dược trình bày theo cách đỏ vàhỉnh vì vậy cuốn sách cùng có the gọt là « Hình học tuyến tỉnh ». Chủng tôi cho rằng nên giảng dạy Hỉnh học kết hợp vời Đại số tuyểninh cho sinh viên ban toán, và bấi vậy nên có một giáo ỉ rinh chung Đại số luyến tính và Hình học tuyến tính ». Bấi vậy ircng cuốn sách với tính chất qiáo khoa này, chủng tôi sẽrình bày « Hình học cao cấp »một cách riêng biệt, đe tiện cho việc sửlạng của sinh viên vá thầiỊ giáo. Xhưng, dề cho dễ theo dõi, chứng tôi dành lổng chươnq ì và hai đoạn đầu của chương lĩ đề trình bày những nồilang chủ yếu của không qian vectơ vồ không gian vectơ ưclỉt — Có mộtố vẩn đề khá qua i trọng nhưng chủng tôi vãn cho vào bài tập, đề cuốnách khỏi quá nặng nê. Ngoài phương pháp của Đại sổ tuyến tỉnh, trong cuốn sách này chúng ôi cunq trình bày quan điềm nhóm của Clai về việc xây dựng Hình học :tem Hình học là khoa học nghiền cửu các bất biến của mội nhỏm cúc phépViển dối nào dỏ của không gian. Bằnq cách đỏ, cuốn sách sẽ nền rõ đượcvối quan hệ giữa hình học xạ ảnh và các hình học khác. Số các bài tập cuối mỗi chương không nhiều, nhưng cũng cỏ một sốbài khỏ. Riêng chương V chỉ có bài tập cho § Ì, vi chúng tôi xem phầnlòn lại như một phần phụ lục, không cần thiết phải rèn luyện vê kỹ nănginh toán. Chủng tôi cảm ơn các giáo sư Nguyễn Thúc Hào, Nguyễn cảnh Toàn,lồng chi Đoàn Quỳnh và các dồng chi ấ các to Hình học của hai trườngĐại học Sir phạm Hà Nội í và Đại học Sư phạm Vinh đõ góp nhiều ý kiếnzho nội dung cuốn sách này. Hà N ộ i , ngày 31-3-1976 GÁC TÁC GIẢ CHƯƠNG I KHÔNG GIAN VECTO* § 1. HỆ TIÊN Đ Ề CỦA KHỐNG GIAN VECTƠ VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH 1. B ị n h n g h ĩ a — Cho một tập hợp V không rồng, các phầntử của nỏ sẽ gọi là các vectơ và kỷ hiệu là a, by x % í/,... Giả sửtrên V đà xác định hai phép toán sau đày : a) Phép cộng vcvtơ. Vời mỗi cặp vectơ có thố tự CI, b£ V cỏmột vectơ .vác định c G V gọi là tồng của vectơ a và vcctơ ĩ vàkỳ hiệu c = a ~r b. b) Phép nhản vectơ vời một số thực. Vời mọi vectơ a G Vvà mọi sổ thực \ cỏ một veciơ xác định b e V gọi là tích củavcctơa với số thực \, oà kí) hiệu ỉ) = Tai. T ậ p hợp V cùng với hai phép toán đ ỏ sẽ gọi là không gianưectơ trên trường so thực nếu 6 tiên đ ề sau đây đ ư ợ c thỏa m ã n : V Ị . i?hèp cộng co tính chất kết hợp, tức là với m ọ i ba vectơát K T,e V ta cỏ : (a +T) 4- T = íT+ (fi r C).Kết quả là ta được một vectơ gọi là tống của ba ưecte o7 b, cvà cỏ thê kỷ hiệu là íỉ -ặ- /) H- f mà khôiiặí cần viết thêm c á cdấn ngoặc. (Một cách tòng quát, do tiên đề này ta cỏ thè (tịiríl 5nghĩa được tong của n vectơ dị, a ,..., tt và kỷ hiệu là «! 4- «2 2 n n a+ . . . + ơn hay 2^ i )• *> i=l v . Trong V cỏ một vectơ, kỷ hiệu là 0, sao cho với mọi ưeciơ 2a e V t a c ó : a + 0 = 0 + a = «. Vectơ 8 thường được gọi làưectơ không. v . (x + 3 -ịh) a = xa 4- ị^a. v . x(« + ử) = xa + xó. 4 v . X ( ...