Toán học - Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính: Phần 2

Tài liệu Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có kết cấu gồm 6 chương. Phần 2 Tài liệu gồm nội dung chương 4 trở đi. Nội dung phần này dành cho việc khảo sát các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng được gọi là Elliptic, Parabolic, Hypebolic thường gặp trong các lĩnh vực vật lý và cơ. Đây là những chương trọng tâm của Tài liệu. Sau mỗi chương tác giả có nêu một số bài tập ứng dụng trực tiếp.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán học - Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính: Phần 2 C H Ư Ớ N G IV PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC § 1 . - NGHIỆM S U Y RỘNG C Ủ A CÁC BÀI TOÁN BIÊN. CÁC BÀI TOÁN TRÊN CÁC GIÁ TRỊ RIÊNGI . N G H I Ệ M SUY RỘNG VÀ NGHIỆM c ổ ĐIỂN CỦACÁC BÀI TOÁN BIÊN n Trong miền Q CR cho phương trình elliptic cấp hai u = div (k(x) Vu) - a(x)u = f(x), (1) trong đó các hệ số k(x), a(x) thực và thỏa mãn điềukiện a(x) 6 c (Q), k(x) e c (Sĩ), k(x) > k > 0 với Vx 0G Q. Số hạng tự do f(x) và h à m u(x) cơ t h ể coi là hàmphức. Dinh nghía ỉ: 2 a. Hàm ư(x) e C (Q) n C(ỈD đxtợc gọi là nghiệm cổđiển của bài toán biên thứ nhất (hay bài toán Đirichlê)đối với phương trinh (1) nếu u(x) thỏa mãn (1) với mọi X£ Q và trên biên OQ bằng h à m ip(x) cho trước: u I = 2 b. Hàm u(x) e c (Q) n CHU) được gọi là nghiệmcổ điển của bài toán biên thứ ba đôi với phương trinh(1) nếu u(x) thỏa mãn (1) với mọi X e Q và + x u 5 8 x í 3 ) ( £ °< > ) L u * > .với ơ ( x ) G C ( 0 Q ) ; 0. Nếu ơ(x) = 0 thì bài toán biên thủba được gọi là bài toán thứ hai (hay bài toán Nôi-man) Ta có nhận xét ràng: Nếu hàm số fe L (Q) 2 thìnghiệm cổ điển (u(x) của bài toán Dirichlê và thuộc 1không gian H (Q) sẽ thỏa mãn đồng nhất thức tíchphân: / (k(x)Vu VỸ + auv)dx = - / fvdx (4) Ú ú ovới mọi V e H^Q). Thật vậy, giẳ sử u(x) là nghiệm cố điển của bài toánĐirichlê. Khi đó u(x) thỏa mãn (1),(2) và nếu ta nhân hai lvế của (1) với hàm v(x) G C (Q) sau đó lấy tích phântheo Q, đồng thòi sử dụng công thức Otstrôgratski ta sẽnhận được đẳng thức (4). vì C(Q) trù một khắp nơi lìtrong không gian H(£2) nên đẳng thức (4) đúng với mọi o lhàm V e U (Q). Chúng ta sẽ đưa vào định nghĩa về nghiệm suy rộng. Định nghía 2: Hàm u(x) e H(S2) được gọi là nghiệm suy rộng của102bải toán Đirichlê đ ố i với p h ư ơ n g t r ì n h (1) với í Ễ L 2 (Q)nếu u(x) thỏa mãn (4) đ ố i với m ọ i h à m V e H 1 (Q) vàthỏa mãn điều kiện (2). Đẳng thức (2) được hiểu là sựb à n g nhau t r o n g L i t í ỉ ) và u | là v ế t của h à m u. Từ nhộn xét trên ta thặy rõ r a n g khái niệm nghiệmsuy rộng không hoàn toàn là sự mở r ộ n g của khái niệmnghiệm cố đ i ê n vì đ ể n g h i ệ m cố đ i ể n là n g h i ệ m suy rộngcòn cần bố sung thêm điêu kiện Đặc trưng tích phân.Cụ thể: u E H(Q) và u e L (íỉ). 2 Định nghía ...