Toán lượng giác - Chương 3: Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác

Nhằm giúp cho học sinh ôn tập, luyện tập và vận dụng các kiến thức vào việc giải các bài tập được tốt hơn mời các bạn tham khảo chương 3: Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán lượng giác - Chương 3: Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giácCHÖÔNG III. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI VÔÙI CAÙC HAØ M SOÁ LÖÔÏ NG GIAÙC a sin2 u + b sin u + c = 0 ( a ≠ 0) a cos2 u + b cos u + c = 0 ( a ≠ 0) atg 2 u + btgu = c = 0 ( a ≠ 0) a cot g 2 u + b cot gu + c = 0 ( a ≠ 0)Caù c h giaû i:Ñaë t : t = sin u hay t = cos u vôù i t ≤ 1 π t = tgu (ñieàu kieä n u ≠ + kπ ) 2 t = cot gu (ñieàu kieä n u ≠ kπ )Caùc phöông trình treâ n thaøn h: at 2 + bt + c = 0Giaû i phöông trình tìm ñöôïc t, so vôù i ñieà u kieä n ñeå nhaän nghieä m t.Töø ñoù giaû i phöông trình löôïn g giaùc cô baû n tìm ñöôï c u.Baø i 56: (Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i A, naê m 2002)Tìm caù c nghieä m treâ n ( 0, 2π ) cuûa phöông trình ⎛ cos 3x + sin 3x ⎞ 5 ⎜ sin x + ⎟ = 3 + cos 2x ( * ) ⎝ 1 + 2 sin 2x ⎠ 1 Ñieà u kieän : sin 2x ≠ − 2 ( ) ( Ta coù : sin 3x + cos 3x = 3sin x − 4 sin 3 x + 4 cos3 x − 3 cos x ) ( = −3 ( cos x − sin x ) + 4 cos3 x − sin3 x ) ( = ( cos x − sin x ) ⎡ −3 + 4 cos2 x + cos x sin x + sin 2 x ⎤ ⎣ ⎦) = ( cos x − sin x )(1 + 2 sin 2x ) ( Luù c ñoù : (*) ⇔ 5 ⎡sin x + ( cos x − sin x ) ⎤ = 3 + 2 cos2 x − 1 ⎣ ⎦ ) ⎛ 1⎞ ⎜ do sin 2x ≠ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⇔ 2 cos2 x − 5 cos x + 2 = 0 ⎡ 1 ⇔ ⎢cos x = 2 ⎢ ⎢cos x = 2 ( loaïi ) ⎣ π 3 1 ⇔x=± + k2π (nhaän do sin 2x = ± ≠− ) 3 2 2 π 5π Do x ∈ ( 0, 2π ) neân x = ∨x= 3 3Baø i 57: (Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i A, naê m 2005)Giaû i phöông trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = 0 ( *) 1 + cos 6x 1 + cos 2x Ta coù : (*) ⇔ .cos 2x − =0 2 2 ⇔ cos 6x.cos 2x − 1 = 0 (**) ( ) Caù c h 1: (**) ⇔ 4 cos3 2x − 3 cos 2x cos 2x − 1 = 0 ⇔ 4 cos4 2x − 3 cos2 2x − 1 = 0 ⎡cos2 2x = 1 ⇔⎢ 2 ⎢cos 2x = − 1 ( voâ nghieäm ) ⎢ ⎣ 4 ⇔ sin 2x = 0 kπ ⇔ 2x = kπ ⇔ x = ( k ∈ Z) 2 1 Caù c h 2: (**) ⇔ ( cos 8x + cos 4x ) − 1 = 0 2 ⇔ cos 8x + cos 4x − 2 = 0 ⇔ 2 cos2 4x + cos 4x − 3 = 0 ⎡cos 4x = 1 ⇔⎢ ⎢cos 4x = − 3 ( loaïi ) ⎣ 2 kπ ⇔ 4x = k2π ⇔ x = ( k ∈ Z) 2 Caù c h 3: phöông trình löôï n g giaùc khoân g maãu möïc : ⎡cos 6x = cos 2x = 1 (**) ⇔ ⎢ ⎣cos 6x = cos 2x = −1 Caù c h 4: cos 8x + cos 4x − 2 = 0 ⇔ cos 8x + cos 4x = 2 ⇔ cos 8x = cos 4x = 1 ⇔ cos 4x = 1Baø i 58: (Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i D, naê m 2005) ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 3Giaû i phöông trình: cos4 x + sin 4 x + cos ⎜ x − ⎟ sin ⎜ 3x − ⎟ − = 0 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 2 Ta coù : (*) 1⎡ π⎞ ⎤ 3 ( ) 2 ⎛ ⇔ sin2 x + cos2 x − 2 sin2 x cos2 x + ⎢sin ⎜ 4x − 2 ⎟ + sin 2x ⎥ − 2 = 0 2⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 1 1 3 ⇔1− sin2 2x + [ − cos 4x + sin 2x ] − = 0 2 2 2 1 1 1 1 ⇔ 2 2 ( ) − sin2 2x − 1 − 2 sin2 2x + sin 2x − = 0 2 2 ...