Toán -Tích phân xác định

Cho hàm f(x) liên tục và không âm trên [a,b]. Miền D giới hạn bởi đừơng cong y=f(x), 3 đường thẳng x=a, x=b, y=0 được gọi là hình thang congYêu cầu đặt ra là tính diện tích hình thangChia đoạn [a,b] thành n-phần tùy ý bởi các điểmTích phân xác địnhxkxk+1
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán -Tích phân xác định6.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH6.2.1. Định nghĩa6.2.2. Các tính chất của TPXĐ6.2.3. Liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm6.2.4. Các phương pháp tính TPXĐ 6.2.1. Định nghĩa1. Bài toán diện tích hình thang cong y B f(x) A S 0 a b xCho hình thang cong aABb,giới hạn bởi trục Ox,hai đường thẳng x = a, x = b và đường cong y = f(x),trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a, b].Hãy tính diện tích hình thang cong aABb ? y Bf (ξ2) f(x )f (ξ1)f (ξi ) A x 0 a =x 0 ξ1 x1 ξ2 x2 xi-1 ξ i xi xn=b n S n = ∑ f (ξ i )∆ xi i =1Như vậy: khi ∆xi càng nhỏ và n càng lớn thì diện tíchhình bậc thang sẽ xấp xỉ diện tích hình thang cong.Do đó, diện tích hình thang cong được tính như sau: n S = lim ∑ f (ξi )∆xi n →∞ i =1 2. Định nghĩa tích phân xác định 1. Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên [a, b]. n lim ∑ f (ξ i )∆ xi (n → ∞ sao cho max ∆xi → 0) n→ ∞ i =1tồn tại hữu hạn không phụ thuộc vàocách chia đoạn [a,b]và cách chọn ξi thì giới hạn đó được gọi là của hàm f(x) trên [ a, b ]. tích phân xác định Khi đó ta gọi f(x) là hàm khả tích trên [ a, b ].Kí hiệu : b ∫ f ( x)dx a [a, b] : gọi là đoạn lấy tích phân, b a: cận dưới, b: cận trên. ∫tích phân xác định : dấu a f(x) : hàm dưới dấu tích phân x : biến số tích phân Chú ý.1. Cho f(x) là hàm xác định tại a. a ∫ f ( x)dx = 0 a2. Cho f(x) xác định trên đoạn [ a, b ] b a ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a b3. Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm dưới dấu tích phân xác định, phụ thuộc vào các cận, không phụ thuộc vào biến số tích phân. b b b Tức là : ∫ f ( x)dx = ∫ f (u)du = ∫ f (t )dt a a a 2. Ý nghĩa hình học y f(x) S 0 a b x bNếu f(x) ≥ 0 và liên tục trên [a, b] thì ∫ f ( x)dx alà diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đườngy = f(x), x = a, x = b và trục Ox. b S = ∫ f ( x)dx a 3. Định lí tồn tại tích phân xác địnhĐịnh lí• Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trênđoạn đó.• Nếu f(x) có một điểm gián đoạn loại một (x = c)trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn ấy và ta có : b c b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a a cMệnh đề trên vẫn đúng nếu f(x) có một số hữu hạnđiểm gián đoạn loại một trên đoạn [a, b]. 6.2.2. Tính chất của TPXĐ Giả sử f(x), g(x) khả tích trên [a, b], khi đó: b b 1. ∫ Kf ( x)dx = K ∫ f ( x)dx , với K: hằng số a a b b b 2. ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a a a b c b 3. ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx với c ∈ [a, b] a a c b 4. ∫ dx = b − a a b b 5. Nếu f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx a a6. Nếu m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] thì b m(b –a) ≤ f ( x)dx ≤ M (b – a) ∫ aVí dụ: Ước lượng giá trị tích phân: π 2 I = ∫e sin 2 x dx 07. Định lí giá trị trung bình Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì tồn tại ít nhất c∈[a,b] sao cho: b 1 f (c ) = ∫ f ( x)dx b−a a b hay (b − a) f (c) = ∫ f ( x)dx a Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, ...