Tóm tắt Chuyên khảo đa thức - Nhà giáo ưu tú Lê Hoành Phò

phần a lý thuyết và ví dụĐịnh nghĩa và các phép toánHệ số và các giá trị đa thứcĐa thức với các yếu tố giải tíchPhép chia đa thức:ước bộiĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN I. Định nghĩa đa thức: Cho hàm số f: R? R Ta gọi f là đa thức nếu: f?const (hằng số) hoặc tồn tại Z n?, n?1 và các số thực n a a a a ,...., , ,2 1 0với0 ? n a sao cho:...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Chuyên khảo đa thức - Nhà giáo ưu tú Lê Hoành Phò LEÂ HOAØNH PHOØ Nhaø giaùo öu tuù CHUYEÂN KHAÛO ÑA THÖÙC TAØI LIEÄU DUØNG CHO CAÙC LÔÙP CHUYEÂN TOAÙN, BOÀI DÖÔÕNG HOÏC SINH GIOÛI VAØ THAM KHAÛO CHO SINH VIEÂN NGAØNH TOAÙNNHAØ XUAÁT BAÛN ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP. HOÀ CHÍ MINH 2003 PHAÀN A: LYÙ THUYEÁT VAØ VÍ DUÏA1. ÑÒNH NGHÓA VAØ CAÙC PHEÙP TOAÙNA2. HEÄ SOÁ VAØ GIAÙ TRÒ ÑA THÖÙCA3. ÑA THÖÙC VÔÙI CAÙC YEÁU TOÁ GIAÛI TÍCHA4. PHEÙP CHIA ÑA THÖÙC. ÖÔÙC – BOÄIA5. NGHIEÄM CUÛA ÑA THÖÙCA6. GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BA VAØ BAÄC CAOA7. NGHIEÄM VÔÙI YEÁU TOÁ GIAÛI TÍCHA8. PHAÂN TÍCH THEO CAÙC NGHIEÄM. SOÁ NGHIEÄMA9. ÑÒNH LÍ VIETEA10. COÂNG THÖÙC NOÄI SUY LAGRANGEA11. KHAI TRIEÅN VAØ BIEÅU DIEÃNA12. NHÒ THÖÙC NEWTON – TOÅ HÔÏPA13. ÑA THÖÙC HEÄ SOÁ PHÖÙC – SOÁ PHÖÙCA14. ÑA THÖÙC HEÄ SOÁ NGUYEÂN – SÖÏ KHAÛ QUIA15. ÑA THÖÙC NHIEÀU BIEÁN – ÑA THÖÙC ÑOÁI XÖÙNG ÑÒNH NGHÓA VAØ CAÙC PHEÙP TOAÙN I. Ñònh nghóa ña thöùc: Cho haøm soá f: R R Ta goïi f laø ña thöùc neáu: f  const (haèng soá) hoaëc toàn taïi n  Z , n  1 vaø caùc soá thöïca 0 , a1 , a 2 ,...., a n vôùi a n  0 sao cho: f (x)  a 0 x n  a1x n1  ....  a n1x  a n * a 0 , a1 ,..., a n laø caùc heä soá a 0  0 laø heä soá cao nhaát. a n laø heä soá töï do. Ñaëc bieät, khi a 0  1 thì ña thöùc ñöôïc goïi laø ña thöùc chuaån taéc hay monic *Vôùi a 0  0 thì n laø baäc cuûa ña thöùc f(x), kyù hieäu deg f = n. Ñaëc bieät f  const thì deg f = 0. n *Ñoâi khi ta vieát goïn: f (x)   a i x ni hay vieát ngöôïc laïi: i 0 n f (x)   b k x k  b n x n  b n1x n1  ....  b1x  b 0 , b n  0 k 0 II. Ña thöùc treân caùc taäp soá: f (x)  a 0 x n  a1x n1  ....  a n1x  a n Neáu caùc heä soá a i  R thì kí hieäu f  Rx Neáu caùc heä soá a i  Q thì kí hieäu f  Qx Neáu caùc heä soá a i  Z thì kí hieäu f  Zx III. Caùc pheùp toaùn: f (x)  a 0 x n  a1x n1  ....  a n1x  a n f (x)  b 0 x n  b1x n1  ....  b n1x  b n Thì ta coù 3 pheùp toaùn thoâng thöôøng: f(x) + g(x); f(x) - g(x); f(x).g(x); vaø pheùp hôïp f 0 g(x)  f (g(x)) Töø f(x), g(x) ta coù theå vieát hình thöùc: f (x)  A 0 x n  A1x n1  ....  A n1x  A n g(x)  B 0 x n  B1x n1  ....  B n1x  B n Vôùi k  maxn, m; A i  0 or a1 , B i  0 or b1 thì f (x)  g(x)  A 0  B 2 x k  (A1  B1 )x k 1  ...  (A k  B k )vaø f (x).g(x)  c 0 .x 2k  c1 .x 2k 1  ...  c 2k 1 .x  c 2kKeát quaû: Cho f , g  Rx and deg f  n, deg g  m deg (f  g)  maxm; nthì deg (f .g)  m  n deg f 0 g  n.mIV.Ña thöùc sai phaân: Cho f  Rx, deg f  n ña thöùc sai phaân:   n n  f (x  1)  f (x)   a i (x  1) ni   a i x  1 n i  x n i f i 0 i 0coù baäc laø n-1 vaø heä soá cao nhaát na0.  Töø ñoù ta coù daõy ña thöùc sai phaân giaûm daàn moät baäc k f .V.Ña thöùc Chebyshev: T0 (x)  1, T1 (x)  x Tn(x) vôùi  Tn 1 (x)  2x.Tn (x)  Tn 1 (x), n  1 Cuï theå: T0(x) = 1 T1(x) = x T2(x) = 2x2 – 1 T3(x) = 4x3 – 3x T4(x) = 8x4 – 8x2+1 T5(x) = 16x5 – 20x3 + 5x ,… Ña thöùc Chebyshev Tn(x) coù baäc n vaø coù heä soá cao nhaát 2n-1. Ñoâi khi ta chæ xeùt n  1 trôû ñi. Keát quaû: (1): Tn (cos )  cos . Ta chöùng minh baéng qui naïp theo n lôùn hôn hoaëc baèng 1. Khi n = 1: T1 (cos )  cos Khi n = 2: T2 (cos )  2cos 2  1  cos2 Giaû söû Tk (cos )  cosk thì Tk 1 (cos )  2cos .Tk (cos )  Tk 1 (cos )  2cos .cosk  cos(k  1)  cos(  k )  cos(  k )  cos(k  1)  cos(k  1) (True ) Do ñoù: Tn (cos )  cosn (2) : Tn (x)  1, x 1,1 . Vì x  1 neân ñaët x= cos  Tn (x)  Tn (cos )  cos n  1  (3) : Tn (x)  1 coù ñuùng n nghieäm phaân bieät treân  1,1 laø: x  cosk k  0,1,..., n  1 , n ...