Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến

Nội dung chính của luận án gồm 3 chương. Chương 1 trình bày tổng quan về vấn đề nghiên cứu. Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính duy nhất của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các hàm phân hình nhỏ. Chương 3 dành cho việc nghiên cứu tiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ phân hình từ một miền trong không gian affine phức vào không gian xạ ảnh có cùng ảnh ngược của các siêu phẳng hay siêu mặt di động và thiết lập Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh phức n chiều.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến 1 MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Năm 1925, R. Nevanlinna công bố bài báo về sự phân bố giá trị của hàmphân hình trên mặt phẳng phức. Sau đó, nó nhanh chóng được mở rộng sangtrường hợp hàm phân hình nhiều biến phức và ánh xạ chỉnh hình vào khônggian xạ ảnh phức, lập nên lý thuyết mà sau này mang tên Nevanlinna (hay cònđược gọi là Lý thuyết phân bố giá trị). Nhiều ứng dụng đẹp đẽ của lý thuyếtnày đã được chỉ ra trong việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình, phân hình như:Bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài toán về tínhHyperbolic của đa tạp đại số xạ ảnh; Bài toán họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnhhình, phân hình; Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình. Phát triển lý thuyết cũng như nghiên cứu ứng dụng của Lý thuyết Nevan-linna trong những lĩnh vực khác nhau đã liên tục thu hút được sự quan tâmcủa nhiều nhà toán học trong suốt gần 100 năm qua. Trong bối cảnh đó, chúngtôi chọn đề tài nghiên cứu: Định lý bốn điểm đối với hàm phân hìnhvà tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến.2. Mục đích nghiên cứu 1. Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh rằng với hai hàm phân hìnhkhác hằng f và g trên mặt phẳng phức, nếu chúng có cùng ảnh ngược khôngkể bội của năm điểm phân biệt thì f = g (Định lý năm điểm) và g là một biểudiễn phân tuyến tính của f nếu chúng có cùng số ảnh ngược (tính cả bội) củabốn điểm phân biệt (Định lý bốn điểm). Số điểm cần thiết trong các kết quảnói trên của R. Nevanlinna đã ở mức ít nhất có thể. Tuy vậy, từ hai kết quảđó, ta sẽ xuất hiện câu hỏi tự nhiên là: Liệu Định lý bốn điểm có được mởrộng đến trường hợp không tính bội hay bội được ngắt bởi một mức nào đóhay không? Vấn đề này thu hút sự quan tâm của H. Cartan, G. Gundersen,N. Steinmetz, H. Fujimoto, M. Shirosaki, Trần Văn Tấn và nhiều tác giả khác.Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề sau: Mở rộng Địnhlý bốn điểm nói trên tới trường hợp bội được ngắt với mức thấp và bốn điểmđược thay bởi bốn hàm phân hình nhỏ (so với các hàm f, g đang xét). 2 2. Một trong những ứng dụng quan trọng của lý thuyết Nevanlinna là nócho ta các tiêu chuẩn về tính suy biến hay chặt hơn là tính hằng của các đườngcong (chỉnh hình, phân hình). Trong khi đó, theo nguyên lý Bloch, mỗi địnhlý dạng Picard bé (về tiêu chuẩn đường cong hằng) đều tương ứng với mộttiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đó chính là cầu nối giữa lýthuyết Nevanlinna và lý thuyết về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Nhiềutiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ chỉnh hình, phân hình dưới điều kiệnvề ảnh ngược của các siêu phẳng, siêu mặt đã được chỉ ra bởi L. Zalcman,H. Fujimoto, W. Bergweiler, Z. Tu, Phạm Ngọc Mai - Đỗ Đức Thái - PhạmNguyễn Thu Trang, Sĩ Đức Quang - Trần Văn Tấn, Y. Zhang và nhiều tác giảkhác. Vấn đề nghiên cứu thứ hai của luận án là: Tính chuẩn tắc cho họ cácánh xạ phân hình từ một miền trong không gian affine phức vào không gianxạ ảnh phức dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các siêu phẳng hay siêumặt di động. 3. Định lý Picard lớn cổ điển chỉ ra rằng: Mỗi hàm chỉnh hình trên một đĩathủng nếu tránh 2 giá trị phân biệt thì có thể thác triển chỉnh hình qua điểmthủng. Kết quả trên đã được mở rộng sang các trường hợp ánh xạ chỉnh hìnhvào không gian xạ ảnh phức dưới điều kiện về ảnh ngược của các siêu phẳng(cố định hay di động) và của các siêu mặt cố định bởi H. Fujimoto, Z. Tu, Z.Tu - P. Li và nhiều tác giả khác. Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôixem xét vấn đề sau: Thiết lập Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vàophần bù của 2n + 1 siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh phức n chiều. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là Lý thuyết Nevanlinna; Lý thuyết họchuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài toán xác định duy nhất ánhxạ phân hình; Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình.4. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng cácphương pháp nghiên cứu của Lý thuyết phân bố giá trị, Giải tích phức, Hìnhhọc phức; kế thừa và phát triển các kỹ thuật của các tác giả đi trước về cácchủ đề liên quan. 35. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài Đề tài đã thu được các nhóm kết quả sau: - Định lý về mối quan hệ giữa hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức cócùng ảnh ngược (với bội được ngắt bởi 1 và bởi 2) của bốn hàm phân hìnhnhỏ. Kết quả này tổng quát mạnh mẽ các Định lý bốn điểm của R. Nevanlinnavà của G. Gundersen. - Tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ phân hình từ một miền trongkhông gian affine vào không gian xạ ảnh với điều kiện là có cùng ảnh ngược(không tính bội) của các siêu phẳng hay siêu mặt di động. Đây là kết quả đầutiên về tiêu chuẩn họ chuẩn tắc dư ...