Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng dụng

Mục đích xây dựng của luận án nhằm xây dựng một số tích chập suy rộng Hartley. Nghiên cứu các tính chất của các tích chập suy rộng này và ứng dụng trong giải phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel; nghiên cứu một số bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Hartley, chẳng hạn như bất thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh và các ứng dụng liên quan.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng dụng 1 MỞ ĐẦU1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân Phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò quan trọng trong lýthuyết cũng như trong ứng dụng đối với nhiều ngành khoa học, đặc biệt là cácngành Vật lý như: quang học, điện, cơ học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lýảnh,... Phép biến đổi tích phân đầu tiên được nghiên cứu xuất phát từ bài toánthực tế, khi Fourier J. nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt, phép biến đổi nàycó dạng Z∞ 1 (F f )(x) = √ e−ixy f (y)dy, y ∈ R, f ∈ L1 (R). (1) 2π −∞ Năm 1942, phép biến đổi tích phân Hartley đã được đề xuất như một thaythế cho phép biến đổi Fourier bởi tác giả Hartley R.V.L., nhằm giải quyết cácbài toán thực tế với những ưu điểm trong một số lĩnh vực như: xử lý tín hiệu,xử lý ảnh, xử lý âm thanh,... Phép biến đổi Hartley của hàm f ∈ L1 (R) đượccho bởi các công thức sau Z∞ 1 (H1 f )(y) = √ f (x) cas(xy)dx, (2) 2π −∞ Z∞ 1 (H2 f )(y) = √ f (x) cas(−xy)dx, (3) 2π −∞ trong đó cas u = cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley. Trong thời gian gần đây, đã có nhiều nghiên cứu mới về phép biến đổi tíchphân Hartley và ứng dụng. Năm 2014 tác giả Bouzeffour F. nghiên cứu về phépbiến đổi Hartley suy rộng trên L1α (R) và các ứng dụng liên quan. Cũng trongnăm 2014, nhà toán học Yakubovich S.B. nghiên cứu về phép biến đổi tích phânHartley và biến đổi ngược của nó trên nửa trục trong không gian L2 (R+ ). Để nghiên cứu không gian tuyến tính, người ta thường đưa vào phép nhânchập hay còn gọi là tích chập, khi cố định một hàm ta có một lớp biến đổi tíchphân gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập. Việc nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể giảiquyết những bài toán ứng dụng thực tế có nhiều ý nghĩa khoa học hơn, chẳnghạn đối với những bài toán có nguồn thông tin dữ liệu đa dạng hơn (vì trongđẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng được kết hợp bởi nhiều phépbiến đổi tích phân hơn). Tuy vậy, cho đến nay vẫn chưa có nhiều nghiên cứuvề phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể kể tên những côngtrình nghiên cứu gần đây, chẳng hạn 2 • Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng không có hàm trọng: Năm 2000, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine trong không gian hàm Lp (R+ ), (1 < p < 2) được nghiên cứu bởi tác giả Tuan V.K. và các cộng sự. Năm 2013, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine và Kontorovich- Lebedev được nghiên cứu bởi Hong N.T., Tuan T. và Thao N.X.. • Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng có hàm trọng: Năm 2007, kết quả điển hình nghiên cứu về phép biến đổi này đối với tích chập suy rộng Fourier cosine và sine, được công bố bởi nhóm tác giả Thao N.X., Tuan V.K. và Hong N.T.. Như vậy có thể thấy rằng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tíchchập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley cho đến nay chưa có nhiềunghiên cứu đề cập đến, mặc dù các ứng dụng của nó khá phong phú và xuấtphát từ những vấn đề khác nhau của các bài toán thực tế. Vì vậy, nghiên cứuvề phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley cũng như cấu trúctoán tử của nó là một mục đích của luận án.Tích chập và tích chập suy rộng Theo lịch sử phát triển thì các khái niệm về tích chập lần lượt được xuấthiện với những tên gọi khác nhau như: tích chập (không có hàm trọng và cóhàm trọng), tích chập suy rộng (không có hàm trọng và có hàm trọng) và tiếpđến là đa chập. Đối với tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có nhiều hơn mộtphép biến đổi tích phân được gọi là tích chập suy rộng. Khi đó, tích chập suyrộng được gọi tên theo thứ tự các phép biến đổi tích phân lần lượt xuất hiện. Cho đến nay có rất ít công trình nghiên cứu về tích chập suy rộng đối vớiphép biến đổi tích phân Hartley (có trọng và không có trọng), mặc dù hướngnghiên cứu này mang lại nhiều ứng dụng hữu ích. Do đó, vấn đề xây dựng cáctích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley và các ứng dụng của nólà một nội dung có ý nghĩa khoa học và là mục đích nghiên cứu của luận án. Bất đẳng thức kiểu tích chập và tích chập suy rộng ...