Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng

Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace; nghiên cứu tính chất toán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm cụ thể; xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng; ứng dụng vào việc giải một lớp các phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từrất sớm. Đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tíchtoán học. Một trong những nội dung được quan tâm của phép biến đổitích phân là nghiên cứu các tích chập. Đó là một phép nhân đặc biệt đượcđịnh nghĩa qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được đưa vàonghiên cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thườngkhông tồn tại. Các tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích chập Laplace,tích chập Fourier. Năm 1951, tích chập suy rộng đầu tiên được SneddonI.N. đề cập và nghiên là tích chập suy rộng Fourier sine và Fourier cosine.Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, một vài tích chập suy rộng đốivới các phép biến đổi tích phân khác mới tiếp tục được nghiên cứu bởiYakubovich S.B. Đó là các tích chập suy rộng đối với các phép biến đổitích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổiH theo chỉ số. Đến năm 1998, Kakichev V.A. và N.X. Thảo đưa ra địnhnghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng γ của hai hàm f và k đối với baphép biến đổi tích phân bất kỳ T1 , T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử γ hóa T1 f ∗ k (y) = γ(y) T2 f (y) T3 k (y) và cho điều kiện cần để xác địnhtích chập khi biết một số ràng buộc cụ thể về nhân của các phép biến đổitích phân tương ứng. Nhờ kỹ thuật này mà những năm về sau đã có mộtsố tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân khác đượcxây dựng. Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chínhthức nào về tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đượccông bố. Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập f ∗ k (x),bằng cách cho một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thứctích chập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong mộtkhông gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phânliên quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu 1 tích chập f 7→ g = f ∗ k . Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầutiên được Watson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đếntích chập Mellin. Tổng quát hơn, người ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng f 7→ g = D f ∗ k mà D là một toán tử nào đó. Trong d2trường hợp D = (1 − dx2 ) là một toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổitích phân kiểu tích chập Fourier cosine đã được V.K. Tuấn và Musallamthiết lập và nghiên cứu. Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập hoặctích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Fourier sine, Mellin, biến đổiKontorovich-Lebedev sau đó cũng được nghiên cứu. Cho đến nay các phépbiến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng và khôngcó hàm trọng vẫn chưa được nghiên cứu. Khi giải quyết các bài toán toán-lý, nghiệm của các bài toán này có thểđược biểu diễn qua các tích chập tương ứng. Để đánh giá các nghiệm đó tacó thể dùng đến bất đẳng thức đối với tích chập. Đầu tiên phải kể đến bấtđẳng thức Young và bất đẳng thức Saitoh đối với tích chập Fourier. Cácbất đẳng thức dạng này đối với tích chập Mellin, tích chập Fourier cosinesau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị. Tuynhiên, các bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng liên quan đến phépbiến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được đề cập và nghiên cứu. Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là Tíchchập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fouriervà ứng dụng. 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suyrộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace. Nghiên cứu tính chấttoán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộngnày trong một số không gian hàm cụ thể. Xây dựng và nghiên cứu cácphép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng. Nghiên cứucác tính chất toán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tửngược trong không gian L2 (R+ ). Từ đó, ứng dụng vào việc giải một lớpcác phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. 2 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp giải tích hàm, lýthuyết toán tử, phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập. Chúng tôiứng dụng bất đẳng thức H¨older để đánh giá chuẩn của các toán tử tíchchập mới trong các không gian hàm cụ thể. Đặc biệt Định lý Wiener-Levyđược sử dụng nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho lớpcác phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. 4. Cấu trúc và kết quả của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm ba chương: Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Fourier-Laplace. Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval,Định lý kiểu Titchmarch và một số đánh giá chuẩn trong các không gianhàm Lp (R+ ) và Lα,β p (R+ ). Tìm được mối liên hệ giữa các tích chập suy rộngmới với một số tích chập quan trọng đã biết. Hơn nữa, trong các khônggian Lp (R+ ) và Lp (R+ , ρ), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đốivới tích chập suy rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh. Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tíchchập suy rộng Fourier-Laplace. Nghiên cứu các tính chất toán tử của cácphép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điềukiện cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gianL2 (R+ ), hơn nữa ta cũng xác định được điề ...