Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Áp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán elliptic suy biến

Mục đích nghiên cứu của luận án nhằm nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm cổ điển không âm trong miền kiểu hình sao; Nghiên cứu các định lí kiểu Liouville về sự không tồn tại nghiệm cổ điển dương trong toàn không gian.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Áp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán elliptic suy biến BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 BÙI KIM MYÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH NGHIÊN CỨUMỘT SỐ BÀI TOÁN ELLIPTIC SUY BIẾNTÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9 46 01 02 HÀ NỘI, 2019 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Người hướng dẫn khoa học : PGS. TS Cung Thế Anh Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................... Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................... Phản biện 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................... Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họptại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 vào hồi . . . giờ . . . ngày. . . tháng . . . năm2019. Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. MỞ ĐẦU1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Nhiều phương trình đạo hàm riêng loại elliptic gắn với việc nghiên cứutrạng thái dừng của các quá trình tiến hóa trong vật lí, hóa học, cơ học vàsinh học. Mặt khác, nhiều lớp phương trình elliptic phi tuyến quan trọng cũngxuất phát từ các bài toán của hình học vi phân (xem các cuốn chuyên khảocủa Ambrosetti và Malchiodi (2007), Evans (1998), Gilbag và Trudinger (1998),Quittner và Souplet (2007), Willem (1996)). Vì vậy, việc nghiên cứu những lớpphương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Mộtmặt việc nghiên cứu các phương trình elliptic thúc đẩy và cung cấp ý tưởngcho sự phát triển các công cụ và kết quả của nhiều chuyên ngành giải tích nhưLí thuyết các không gian hàm, Giải tích hàm phi tuyến, Phép tính biến phân,. . . . Mặt khác, sự phát triển của các chuyên ngành này dẫn đến những tiến bộlớn trong lí thuyết phương trình elliptic. Chính vì vậy lí thuyết phương trìnhelliptic đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thếgiới. Như đã nói ở trên, vấn đề nghiên cứu các bài toán elliptic bằng các phươngpháp giải tích đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quantâm nghiên cứu phát triển. Trong vài thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học đãnghiên cứu và thu được nhiều kết quả về lí thuyết định tính nghiệm đối với nhiềulớp bài toán chứa toán tử elliptic và toán tử elliptic suy biến (xem, chẳng hạncác cuốn chuyên khảo của Ambrosetti và Malchiodi (2007), Quittner và Souplet(2007), Willem (1996) và các bài báo tổng quan gần đây của Figueiredo (1996),Kogoj (2018)). Trong lớp các toán tử suy biến, có một lớp đặc biệt quan trọnglà lớp toán tử ∆λ -Laplace có dạng N X ∆λ u = ∂xi (λ2i (x)∂xi u), i=1trong đó λi là các hàm thỏa mãn một số điều kiện phù hợp. Lớp toán tử này đượcđưa ra bởi Kogoj và Lanconelli năm 2012, và chứa nhiều lớp toán tử quan trọng N uxi xi , toán tử Grushin Gs u = ∆x u+|x|2s ∆y u (xem Pnhư toán tử Laplace ∆u = i=1Grushin (1971)), toán tử suy biến mạnh Pα,β u = ∆x u + |x|2α ∆y u + |y|2β ∆z u, . . . 1(xem N.M. Tri và các cộng sự (2002, 2012)). Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả quan trọng về sự tồn tại vàtính chất định tính nghiệm đối với phương trình và hệ phương trình elliptic,liên quan đến nội dung của luận án. • Phương trình elliptic nửa tuyến tính. Trong những thập kỉ vừa qua, bài toán biên đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính có dạng  −∆u = f (x, u), x ∈ Ω, (1)  u = 0, x ∈ ∂Ω. đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Nhiều bài toán quan trọng đặt ra khi nghiên cứu lớp phương trình trên, chẳng hạn sự tồn tại nghiệm, tính chính quy của nghiệm, các đánh giá định tính đối với nghiệm, nghiên cứu sự ảnh hưởng tô-pô của miền đang xét lên số nghiệm của phương trình, . . . . Có nhiều phương pháp đã được sử dụng để nghiên cứu bài toán (1) chẳng hạn như: phương pháp nghiệm trên-nghiệm dưới (xem Evans (1998)), phương pháp bậc tô-pô (xem Li (1989)), . . . . Tuy nhiên, một trong những phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình trên đó là phương pháp biến phân (xem Ambrosetti và Malchiodi (2007), Jabri (2003), Rabinowitz (1986), Willem (1996)). Ý tưởng của phương pháp này là chuyển bài toán (1) về việc tìm các điểm tới hạn của một phiếm hàm Euler-Lagrange khả vi J liên kết với bài toán (1). Theo đó, điều kiện (AR) được đưa ra lần đầu tiên bởi Ambrosetti và Rabinowitz (1973) (AR) ∃R0 > 0, θ > 2 sao cho 0 < θF (x, s) ≤ sf (x, s), ∀|s| ≥ R0 , ∀x ∈ Ω, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán dạng (1). Điều kiện này không những đảm bảo cho phiếm hàm Euler-Lagrange J liên kết với bài toán (1) có cấu trúc hình học qua núi mà nó còn đảm bảo cho các dãy Palais-Smale của phiếm hàm Euler-Lagrange là bị chặn. Với điều kiện (AR) này, ta có thể sử dụng định lí qua núi dạng cổ điển của Ambrosetti và Rabinowitz (xem Ambrosett ...