Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán tựa cân bằng dạng Blum – Oettli tổng quát và ứng dụng

Mục tiêu của luận án là ứng dụng những kết quả ở (1), chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan: Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I, Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II và Bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán tựa cân bằng dạng Blum – Oettli tổng quát và ứng dụng ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————————— NGUYỄN QUỲNH HOA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNGDẠNG BLUM - OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Toán Giải tích Code: 9460102 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân TấnPhản biện 1:....................................................................Phản biện 2:....................................................................Phản biện 3:.................................................................... Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Vào hồi ..... giờ ..... ngày ..... tháng ..... năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm học liệu – Đại học Thái Nguyên - Thư viện trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên 1Mở đầu Khi nghiên cứu các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội, cũng như trong các ngành khoahọc, chúng ta thường gặp những câu hỏi: Tồn tại hay không tồn tại? Tồn tại như thế nào? Theothuật ngữ toán học, câu hỏi thứ nhất làm ta liên hệ với sự tồn tại hay không tồn tại nghiệmcủa phương trình, bài toán được phát biểu như sau: Tìm x ∈ D sao cho F (x) = 0, (1)trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian X và F là ánh xạ đi từ D vào không giantuyến tính Y . Bài toán này còn được gọi là phương trình toán tử. Câu hỏi thứ hai, trong toán học, ta có thể liên hệ với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho f (x) ≤ f (x), với mọi x ∈ D, (2)với D là tập con của không gian X và f là hàm số từ tập D vào không gian các số thực R. Bàitoán này còn được gọi là bài toán tối ưu. Bài toán (1) và (2) đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào giải quyếtnhững vấn đề đặt ra trong thực tiễn cuộc sống. Các nhà toán học đã xây dựng những lý thuyếtđể giải hai bài toán (1) và (2). Lý thuyết để giải bài toán (1) được gọi là lý thuyết phươngtrình toán tử. Lý thuyết để giải bài toán (2) được gọi là lý thuyết tối ưu. Hai bài toán trênđóng vai trò trọng tâm của hai lý thuyết này. Lý thuyết phương trình toán tử và lý thuyết tốiưu có mối liên hệ qua lại, tương tác lẫn nhau. Trong nhiều trường hợp, bài toán (1) có thể đưavề bài toán (2) và ngược lại. Ví dụ: Khi X là không gian Hilbert, f là hàm lồi và có đạo hàmf 0 , bài toán (2) tương đương với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho x = PD (x − f 0 (x)),với PD (x) là hình chiếu trực giao của điểm x lên tập D. Hay F (x) = 0, với F (x) = PD (x −f 0 (x)) − x. Tức là, bài toán (1) tương đương với bài toán (2). Để giải bài toán (2), người ta phân loại thành những lớp bài toán dựa theo đặc tính hàm sốf và tập D. Khi f là hàm tuyến tính và D là đa diện lồi trong không gian Euclid n chiều Rn ,bài toán (2) được gọi là qui hoạch tuyến tính. Năm 1947, G. B. Danzig, nhà toán học Mỹ đãtìm ra thuật toán đơn hình để giải bài toán này. Khi D là tập lồi đóng trong không gian Rn và 2f là hàm lồi thì (2) được gọi là bài toán quy hoạch lồi. Những năm 1960 - 1970, nhà toán họcMỹ, T. Rockaffelar đã đưa ra khái niệm dưới vi phân của hàm lồi để xây dựng môn giải tíchlồi nhằm giải quyết bài toán quy hoạch lồi. Tiếp theo, khi f là hàm Lipschitz địa phương và Dlà tập đóng, (2) được gọi là bài toán quy hoạch Lipschitz. Sau những năm 1970, nhà toán họcMỹ, F. H. Clarke đã xây dựng dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phương để giải bài toán quyhoạch Lipschitz. Khi hàm f là hàm liên tục, D là tập đóng, bài toán (2) được gọi là bài toánquy hoạch liên tục. Những năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, D. T.Lục và V. Jeyakumar đã đưa ra lý thuyết Jacobian xấp xỉ để giải bài toán quy hoạch liên tục. Tới những năm 1960 của thế kỷ trước, Stampachia đã đưa ra bài toán bất đẳng thức biếnphân: Cho D là tập con khác rỗng của không gian Rn , T : D → Rn . Tìm x ∈ D sao cho hT (x), x − xi ≥ 0, với mọi x ∈ D. (3)Sau đó, bài toán này được mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát: Tìmx ∈ D sao cho hT (x), x − xi + φ(x) − φ(x) ≥ 0, với mọi x ∈ D, (4)trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian Banach X, X ∗ là không gian đối ngẫu củaX, G : D → X ∗ là ánh xạ đơn trị, φ : D → R là hàm số thực. Năm 1994, Blum và Oettli đã đưa ra bài toán điểm cân bằng (EP): Cho ánh xạ f : D × D →R, f (x, x) = 0, với x ∈ D. Tìm x ∈ D sao cho f (t, x) ≥ 0, với mọi t ∈ D. (5)Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (5), các tác giả đã sử dụng Định lý về sự tươnggiao của ánh xạ KKM, một dạng tương đương của Định lý về điểm bất động Browder. Bài toán điểm cân bằng bao hàm các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toánđiển yên ngựa, bài toán minimax, bài toán điểm bất động, ... như những trường hợp đặc biệt.Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu thuật toán nhằm tìm nghiệm cho những bài toánnày đã được rất nhiều các nhà toán học trong nước cũng như quốc tế mở rộng và phát triểnmạnh mẽ. Tiếp theo, các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm cân bằng được mởrộng khi các hàm số liên quan là những hàm véctơ và chúng lần lượt được gọi là: Bài toán tốiưu véctơ, bất ...