Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của một số lớp Môđun

Mục đích nghiên cứu của luận án nhằm thiết lập chặn trên cho tỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford cho một số lớp Môđun mới; có ý nghĩa thực tế cao cho biết sơ bộ thời gian cần chạy của một phần mềm định sử dụng, biết trước khả năng có thể sử dụng được phần mềm hay không. Để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu mời các bạn cùng tham khảo luận án.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của một số lớp Môđun Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh §µo ThÞ Thanh HµChØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford cña mét sè líp m«®un Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè M· sè: 62.46.05.01 tãm t¾t luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc 2009C«ng tr×nh ®îc hoµn thµnh t¹i:Trêng §¹i häc VinhNgêi híng dÉn khoa häc: GS. TSKH. Lª TuÊn Hoa PGS. TS. Ng« Sü TïngPh¶n biÖn 1: GS. TSKH. Hµ Huy Kho¸iPh¶n biÖn 2: GS. TS. Lª V¨n ThuyÕtPh¶n biÖn 3: PGS. TS. NguyÔn TiÕn QuangLuËn ¸n sÏ ®îc b¶o vÖ tríc Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp nhµ níchäp t¹i: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................vµo håi . . . . giê . . . . ngµy . . . . th¸ng . . . . n¨m . . . .Cã thÓ t×m hiÓu vÒ luËn ¸n t¹i: - Th viÖn Quèc gia ViÖt Nam - Th viÖn Trêng §¹i häc Vinh 1Më ®Çu1. Lý do chän ®Ò tµi: Cho S = K[x1 , . . . , xn ] lµ vµnh ®a thøc ph©n bËc chuÈn vµ M lµ LS -m«®un ph©n bËc h÷u h¹n sinh: M = i∈Z Mi . ChØ sè chÝnh quyCastelnuovo-Mumford cña M lµ sè reg(M ) = inf{p | Hmi (M )j = 0 ∀i, j : i + j > p},trong ®ã Hmi (M ) lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng ph©n bËc thø i víigi¸ lµ i®ªan cùc ®¹i thuÇn nhÊt m = (x1 , . . . , xn ). ChØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford ®ãng mét vai trß quan trängkh«ng chØ trong §¹i sè giao ho¸n mµ c¶ trong H×nh häc ®¹i sè. Ch¼ngh¹n, v× nã chÆn trªn tÊt c¶ c¸c bËc sinh cùc ®¹i cña c¸c m«®un xo¾n nªncã thÓ xem nã nh mét ®é ®o vÒ sù phøc t¹p cña m«®un. ChØ sè chÝnhquy Castelnuovo-Mumford cßn cã thÓ ®îc dïng ®Ó ®o ®é phøc t¹p cñathuËt to¸n Buchberger. ChÝnh v× vËy vÊn ®Ò nghiªn cøu chØ sè chÝnh quyCastelnuovo-Mumford kh«ng chØ cã ý nghÜa lý thuyÕt, mµ cßn cã ý nghÜathùc tiÔn, theo nghÜa khi cã mét bµi to¸n cô thÓ, nã cho biÕt s¬ bé thêigian cÇn ch¹y cña mét phÇn mÒm ®Þnh sö dông vµ do ®ã biÕt tríc kh¶n¨ng cã thÓ sö dông ®îc phÇn mÒm ®ã hay kh«ng. §©y lµ mét vÊn ®Ònghiªn cøu thêi sù, ®îc nhiÒu ngêi quan t©m.2. Môc ®Ých nghiªn cøu: Môc ®Ých nghiªn cøu cña ®Ò tµi nµy lµ thiÕt lËp chÆn trªn cho chØ sèchÝnh quy Castelnuovo-Mumford cho mét sè líp m«®un míi.3. §èi tîng nghiªn cøu: §èi tîng nghiªn cøu cô thÓ cña luËn ¸n lµ c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu®Þa ph¬ng, chØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford vµ c¸c bÊt biÕn liªnquan nh bËc suy réng, a-bÊt biÕn. 24. Ph¹m vi nghiªn cøu: Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i chØ nghiªn cøu hai líp m«®un: líp m«®unCohen-Macaulay suy réng d·y vµ líp m«®un chÝnh t¾c còng nh c¸cm«®un khuyÕt cña mét m«®un.5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu: Chóng t«i sö dông ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt, kÕt hîp víi phÇnmÒm m¸y tÝnh CoCoA ®Ó tÝnh mét sè vÝ dô cô thÓ. LÜnh vùc lý thuyÕtchóng t«i sö dông lµ ®¹i sè giao ho¸n vµ ®¹i sè ®ång ®iÒu.6. ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiÔn LuËn ¸n ®· cã nh÷ng ®ãng gãp lý thuyÕt míi. Cô thÓ, chóng t«i ®· thiÕtlËp ®îc chÆn trªn cho chØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford cña c¸c lípm«®un: m«®un ph©n bËc Buchsbaum d·y, m«®un ph©n bËc k -Buchsbaumd·y, m«®un chÝnh t¾c vµ c¸c m«®un khuyÕt cña c¸c m«®un ph©n bËc. Víi c¸c kÕt qu¶ ®¹t ®îc ta cã thÓ thÊy c¸c phÇn mÒm ®¹i sè hiÖn cãcã thÓ ch¹y kh¸ tèt trªn c¸c líp m«®un Buchsbaum d·y hoÆc k -Buchsbaumd·y víi k bÐ.7. Tæng quan luËn ¸n Kh¸i niÖm chØ sè chÝnh quy b¾t nguån tõ nh÷ng c«ng tr×nh vÒ ®êng congx¹ ¶nh cña Castelnuovo vµ ®îc Mumford ®Þnh nghÜa vµ ph¸t biÓu cho c¸c®a t¹p x¹ ¶nh. Sau ®ã Eisenbud-Goto [7] diÔn ®¹t theo ng«n ng÷ §¹i sè giaoho¸n và cho c¸c m«®un ph©n bËc. ChØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford ®ãng mét vai trß quan trängkh«ng chØ trong §¹i sè giao ho¸n mµ c¶ trong H×nh häc ®¹i sè. Ch¼ng h¹n, v×nã chÆn trªn tÊt c¶ c¸c bËc sinh cùc ®¹i cña c¸c m«®un xo¾n nªn cã thÓ xemnã nh mét ®é ®o vÒ sù phøc t¹p cña m«®un. ChØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford cßn cã thÓ ®îc dïng ®Ó ®o ®é phøc t¹p cña thuËt to¸n Buchbergernh Bayer vµ Stillman ®· chØ ra. V× vËy mét trong nh÷ng vÊn ®Ò ®Çu tiªn 3®Æt ra trong viÖc nghiªn cøu chØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford lµ chÆntrªn nã th«ng qua c¸c bÊt biÕn kh¸c cña m«®un. KÕt qu¶ quan träng vµ næitiÕng nhÊt lµ cña Gruson-Lazarsfeld-Peskine nãi r»ng ®èi víi ®êng congx¹ ¶nh kh«ng suy biÕn C : reg(C) ≤ deg(C) − codim(C) + 1, trong ®ãdeg(C) lµ bËc, cßn codim(C) lµ ®èi chiÒu. Khi chiÒu ®a t¹p V lín h¬n 1th× gi¶ thuyÕt Eisenbud-Goto nãi r»ng bÊt ®¼ng thøc trªn vÉn cßn ®óng, tøclµ reg(V ) ≤ deg(V ) − codim(V ) + 1. Tuy nhiªn gi¶ thiÕt nµy cha ®îcchøng minh, trõ phi V thuéc mét líp ®Æc biÖt nµo ®ã. Ch¼ng h¹n khi V lµ®a t¹p Buchsbaum hoÆc cã deg(V ) ≤ codim(V ) + 2 th× ®iÒu ®ã ®· ®îcStu ¨ckrad vµ Vogel chøng minh (xem [15]). Víi gi¶ thiÕt yÕu h¬n khi V lµ®a t¹p Cohen-Macaulay suy réng th× cã mét sè bÊt ®¼ng thøc yÕu h¬n. C¸cnghiªn cøu nµy (kÓ c¶ cho m«®un) ®· ®îc mét sè t¸c gi¶ tiÕn hµnh (ch¼ngh¹n xem [12], [13]). Bµi to¸n thø nhÊt ®îc xÐt ®Õn trong luËn ¸n nµy lµ chÆn trªn chØ sèchÝnh quy Castelnuovo-Mumford cña m«®un Buchsbaum d·y vµ m«®un k-Buchsbaum d·y. Sau ý tëng cña Stanley, N. T. Cêng-L. T. Nhµn ®· ®ara kh¸i niÖm m«®un Cohen-Macaulay suy réng d·y (xem [6]). KÕt hîpvíi kh¸i niÖm m«®un k -Buchsbaum tríc ®ã, chó ...