Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Đạo hàm của Lie của dòng và liên thông

Mục đích của luận án là nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đa tạpnhư: Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông... nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên đa tạp Riemann, đồng thời chúng tôi cũng chỉ ra một số ứng dụng của chúng. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Đạo hàm của Lie của dòng và liên thôngBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHBÙI CAO VÂNĐẠO HÀM LIECỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNGChuyên ngành: Hình học và TôpôMã số: 62. 46. 01. 05TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCVINH - 2016Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học VinhTập thể hướng dẫn khoa học:1. PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang2. PGS. TS. Kiều Phương ChiPhản biện 1:...............................Phản biện 2:...............................Phản biện 3:...............................Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trườnghọp tại Trường Đại học Vinhvào hồi .......... ngày .... tháng ..... năm ......Có thể tìm hiểu luận án tại:1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh2. Thư Viện Quốc gia Việt Nam1MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài1.1. Lý thuyết đạo hàm Lie là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của toán họchiện đại, xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ trước trong các công trình nghiêncứu của Slebodzinski, Dantzig, Schouten và Van Kampen. Đây là lĩnh vực đã và đangđược sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Phép đạo hàmLie trên đa tạp là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu về các bài toán đa tạp concó thể tích cực tiểu địa phương, xác định các độ cong, độ xoắn của đa tạp Riemann.Đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như tìmnghiệm của các phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, hệ động lực, hệHamilton... Ngoài ra, đạo hàm Lie cũng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoahọc khác như: Cơ học lượng tử, khoa học máy tính, sinh học, kinh tế,...1.2. Lý thuyết dòng là một lý thuyết của ngành Hình học - Tôpô. Từ cuối nhữngnăm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự hình thành và phát triển của lý thuyết các khônggian phức hyperbolic, lý thuyết dòng đã có những bước tiến mạnh mẽ và được ứngdụng sâu sắc trong giải tích phức nhiều biến, hình học giải tích, hình học đại số, hệđộng lực... Việc sử dụng lý thuyết dòng trong các nghiên cứu về thể tích cực tiểucủa k−mặt trên đa tạp Riemann có thể tìm thấy trong các công trình nghiên cứucủa A. T. Fomenko, Havey, Đào Trọng Thi, Lê Hồng Vân...1.3. Các phép đạo hàm trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong việc mô tả cácđặc trưng hình học của đa tạp đó. Chính vì vậy, mà việc nghiên cứu nó đã và đangđược nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Mặc dù cho đến nay đã cónhiều kết quả quan trọng nhưng đây vẫn là vấn đề cơ bản và mang tính thời sự, thuhút ngày càng nhiều nhà toán học nghiên cứu vì tính thực tiễn và ứng dụng trongkhoa học kỹ thuật. Năm 2010, Sultanov đã trình bày các tính chất cơ bản của cácđạo hàm Lie và ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và độ xoắn trên cácđại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị. Trong trường hợp riêng, đạo hàm Lie đượcsử dụng trong các nghiên cứu về các tính chất hình học trên đa tạp. Trong nhữngnăm gần đây, đạo hàm Lie đã được nhiều nhà toán học quan tâm, chẳng hạn: K.Habermann, A. Klein (2003); L. Fatibene, M. Francaviglia (2011); R. P. Singh, S. D.Singh (2010); A. Ya. Sultanov (2010); J. D. Pérez (2014)...Nhằm thiết lập khái niệm đạo hàm Lie cho dòng và liên thông trên các đa tạp,đồng thời nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của chúng, chúng tôi chọn đề tàinghiên cứu cho luận án của mình là: Đạo hàm Lie của dòng và liên thông.2. Mục đích nghiên cứuMục đích của luận án là nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đa tạp như: Đạohàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, viphân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông... nhằm bổ sungmột số tính chất hình học trên đa tạp Riemann, đồng thời chúng tôi cũng chỉ ra mộtsố ứng dụng của chúng.23. Đối tượng nghiên cứuĐối tượng nghiên cứu của luận án là đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng,đạo hàm Lie của các liên thông trên đa tạp Riemann.4. Phạm vi nghiên cứuLuận án nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie củaphân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc,vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông và ứng dụngcủa chúng.5. Phương pháp nghiên cứuChúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của hình học Riemann,lý thuyết dòng, giải tích hàm, lý thuyết liên thông và lý thuyết nhóm Lie trong quátrình thực hiện đề tài.6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễnLuận án đã đạt được một số kết quả về đạo hàm Lie trên đa tạp Riemann như:Đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng,đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạohàm Lie của liên thông pháp dạng... nhằm bổ sung một số tính chất hình học trênđa tạp. Đồng thời, áp dụng các kết quả thu được vào việc chứng minh định lý vậnchuyển, công thức đồng luân đối với dòng và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu.Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học vànghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - ...