Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu không cách biệt và tính ổn định nghiệm của các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình elliptic nửa tuyến tính

Mục tiêu của luận án là nghiên cứu các điều kiện tối ưu không cách biệt và tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp tại từng điểm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu không cách biệt và tính ổn định nghiệm của các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình elliptic nửa tuyến tính BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Hải SơnĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHÔNG CÁCH BIỆT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯUĐƯỢC CHO BỞI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH Ngành: TOÁN HỌC Mã số: 9460101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Nguyễn Thị Toàn 2. TS. Bùi Trọng Kiên Phản biện 1: GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát Phản biện 2: PGS. TS. Cung Thế Anh Phản biện 3: TS. Nguyễn Huy ChiêuLuận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tạiTrường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi …….. giờ, ngày ….. tháng ….. năm ………Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội 2. Thư viện Quốc gia Việt NamMở đầu Lý thuyết điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) có nhiều ứng dụng trong kinh tế, cơ họcvà các lĩnh vực khoa học khác. Nó được phát triển mạnh mẽ và có hệ thống từnhững năm cuối của thập niên 50, khi hai nguyên lý cơ bản được thiết lập: nguyênlý cực đại Pontryagin và nguyên lý quy hoạch động Bellman. Cho đến nay, lý thuyếtĐKTƯ đã phát triển theo nhiều hướng khác nhau như ĐKTƯ không trơn, ĐKTƯrời rạc, ĐKTƯ được cho bởi phương trình vi phân thường (ODEs), ĐKTƯ được chobởi phương trình đạo hàm riêng (PDEs),... Trong những thập kỉ gần đây, rất nhiều tác giả nghiên cứu định tính cho bài toánĐKTƯ được cho bởi ODEs, PDEs và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Mộttrong những kết quả đó là việc đưa ra các điều kiện tối ưu cho bài toán ĐKTƯ. Điều kiện tối ưu bậc hai của bài toán ĐKTƯ được cho bởi phương trình ellipticlà một chủ đề hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu. Chủ đề này có giá trị về cảlý thuyết và ứng dụng. Các điều kiện cần bậc hai không những cung cấp các tiêuchuẩn để loại đi các điểm dừng nhưng không là điểm cực trị, mà nó còn giúp chúngta trong việc xây dựng các điều kiện đủ cho một điểm dừng là điểm cực trị của bàitoán. Các điều kiện đủ bậc hai đóng vai trò quan trọng trong giải số cho bài toántối ưu phi tuyến, phân tích các thuật toán bậc hai tuần tự và nghiên cứu tính ổnđịnh của ĐKTƯ. Chúng ta sẽ điểm lại một số kết quả về chủ đề này. Đối với bài toán điều khiển phân tán, tức là biến điều khiển chỉ tác động trongmiền Ω của không gian Rn , E. Casas, T. Bayen và các cộng sự đã đưa ra các điềukiện cần và đủ bậc hai cho bài toán với ràng buộc thuần nhất điều khiển, tức là a(x) ≤ u(x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Ω, (1)với u là biến điều khiển và các ràng buộc thuần nhất trạng thái. Đặc biệt, E. Casasđã thiết lập điều kiện đủ bậc hai cho bài toán điều khiển Dirichlet và bài toán điềukhiển Neumann với ràng buộc (1) khi hàm mục tiêu không chứa biến điều khiển u.Hơn nữa, C. Meyer và F. Tr¨oltzsch đã đạt được các điều kiện đủ bậc hai cho bài toánRobin với ràng buộc hỗn hợp ở dạng tuyến tính a(x) ≤ λy (x)+u(x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Ωvới y là biến trạng thái và hữu hạn các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Đối với bài toán điều khiển biên, tức là biến điều khiển u chỉ tác động trên biênΓ của miền Ω, E. Casas, F. Tr¨oltzsch và các cộng sự đã đưa ra điều kiện cần và đủbậc hai với ràng buộc thuần nhất điều khiển tại từng điểm, tức là a(x) ≤ u(x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Γ.Năm 2006, A. R¨osch và F. Tr¨oltzsch đã đưa ra điều kiện đủ bậc hai cho bài toánvới ràng buộc hỗn hợp tuyến tính một phía c(x) ≤ u(x) + γ (x)y (x) h.k. x ∈ Γ. 1 Lưu ý rằng trong các kết quả trên, các hàm a, b thuộc không gian L∞ . Bởi vậy,biến điều khiển u cũng thuộc L∞ . Điều này dẫn đến các nhân tử Lagrange phảithuộc không gian đối ngẫu (L∞ )∗ . Tuy nhiên, chúng ta biết rằng việc miêu tả khônggian đối ngẫu (L∞ )∗ không hiển như không gian đối ngẫu (Lp )∗ , 1 ≤ p < ∞. Gầnđây, B. T. Kien và các cộng sự đã thiết lập điều kiện cần bậc hai của bài toán điềukhiển phân tán Dirichlet với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái ở dạng a(x) ≤ g (x, y (x)) + u(x) ≤ b(x) a.e x ∈ Ω,a, b ∈ Lp (Ω), 1 < p < ∞ và các ràng buộc thuần nhất trạng thái. Điều này thúc đẩychúng ta nghiên cứu và phát triển các bài toán sau: (OP 1) : Thiết lập các điều kiện cần bậc hai của bài toán điều khiển biên Robinvới ràng buộc hỗn hợp điều khiển–trạng thái ở dạng a(x) ≤ g (x, y (x)) + u(x) ≤b(x) h.k. x ∈ Γ, ở đây a, b ∈ Lp (Γ), 1 < p < ∞; (OP 2) : Đưa ra các điều kiện đủ bậc hai của bài toán ĐKTƯ với ràng buộc hỗnhợp điều khiể ...