Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn

Mục tiêu của luận án nhằm Nghiên cứu định tính (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm) bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động và nguyên lý cực đại không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, ... của hàm vế phải. Xây dựng các phương pháp lặp giải bài toán. Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốnBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------------- NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học vàCông nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt NamNgười hướng dẫn khoa học 1: GS. TS. Đặng Quang ÁNgười hướng dẫn khoa học 2: TS. Vũ Vinh QuangPhản biện 1:Phản biện 2:Phản biện 3:Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án Tiến sĩ, họp tạiHọc viện Khoa học vàCông nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học vàCôngnghệ Việt Nam vào hồi … giờ, ngày … tháng … năm ...Cóthể tì m hiểu Luận án tại:- Thư viện Học viện Khoa học vàCông nghệ- Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU1. Tính cấp thiết của Luận án Nhiều hiện tượng trong Vật lý, Cơ học và một số lĩnh vực khác được mô hìnhhóa bởi các bài toán biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trìnhđạo hàm riêng với các loại điều kiện biên khác nhau. Việc nghiên cứu định tínhcũng như phương pháp giải các bài toán này luôn là những chủ đề thu hút đượcnhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước như R.P. Agawarl,E. Alves, P. Amster, Z. Bai, Y. Li, T.F. Ma, H. Feng, F. Minhós, Y.M. Wang,Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Hữu Công, NguyễnVăn Đạo, Lê Lương Tài, ... Sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dươngcủa nghiệm, phương pháp lặp tìm nghiệm của một số bài toán biên cho phươngtrình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn đã được xét đến trongcác công trình của tác giả Đặng Quang Á và các cộng sự (2006, 2010, 2016-2018).Tác giả Phạm Kỳ Anh (1982, 1986) cũng có một số công trình nghiên cứu về tínhgiải được, cấu trúc tập nghiệm, các phương pháp xấp xỉ nghiệm, ... của bài toánbiên tuần hoàn. Sự tồn tại nghiệm, tồn tại nghiệm dương của các bài toán về dầmđược xét đến trong các công trình của T.F. Ma (2000, 2003, 2004, 2007, 2010).Lý thuyết và vấn đề giải số các bài toán biên tổng quát đã được đề cập đến trongcác tài liệu R.P. Agarwal (1986), Uri M. Ascher (1995), Herbert B. Keller (1987),M. Ronto (2000), ... Trong số các bài toán biên, bài toán biên cho phương trình vi phân thường vàphương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn nhận được sự quan tâmlớn của các nhà nghiên cứu bởi chúng là mô hình toán học của nhiều hiện tượngtrong thực tiễn như sự uốn cong của dầm và của bản, ... Ta có thể chia phươngtrình vi phân cấp bốn thành hai loại: Phương trình vi phân cấp bốn địa phương vàphương trình vi phân cấp bốn không địa phương. Phương trình vi phân cấp bốncó chứa thành phần tích phân được gọi là phương trình vi phân cấp bốn khôngđịa phương hoặc phương trình loại Kirchhoff. Ngược lại, phương trình được gọilà phương trình vi phân cấp bốn địa phương. Dưới đây, ta sẽ điểm qua một sốphương pháp tiêu biểu khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phânphi tuyến cấp bốn. Phương pháp được kể đến đầu tiên là phương pháp biến phân - phương phápphổ biến nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên phi tuyến. Ý tưởng 1của phương pháp là đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của một phiếmhàm. Các định lý về điểm tới hạn được sử dụng trong nghiên cứu sự tồn tại cựctrị của phiếm hàm. Có rất nhiều công trình sử dụng phương pháp biến phân(xem T.F. Ma (2000, 2003, 2004), R. Pei (2010), F. Wang và Y. An (2012), S.Heidarkhani (2016), John R. Graef (2016), S. Dhar và L. Kong (2018), ...). Tuynhiên phải để ý rằng, khi sử dụng phương pháp biến phân, với các giả thiết vềđiều kiện tăng trưởng đặt lên hàm vế phải, các tác giả phần lớn chỉ xét sự tồn tạinghiệm, sự tồn tại nhiều nghiệm của bài toán (có thể xét sự tồn tại duy nhất củanghiệm trong trường hợp phiếm hàm lồi) nhưng lại không có ví dụ nào về nghiệmtồn tại, đồng thời phương pháp giải bài toán cũng không được xét đến. Phương pháp tiếp theo được sử dụng rộng rãi là phương pháp nghiệm trên vànghiệm dưới. Kết quả chính của phương pháp này khi áp dụng cho các bài toánbiên phi tuyến như sau: Nếu bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới thì với mộtsố giả thiết, bài toán có ít nhất một nghiệm và nghiệm này nằm trong khoảngnghiệm trên và nghiệm dưới. Đồng thời ta có thể xây dựng được hai dãy đơn điệuvới các xấp xỉ đầu là nghiệm trên và nghiệm dưới hội tụ tới nghiệm cực đại vànghiệm cực tiểu của bài toán. Trong trường hợp hai nghiệm cực đại và cực tiểutrùng nhau thì bài toán có nghiệm duy nhất. Dưới đây là một số công trình tiêu biểu sử ...