Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn

Chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn" vì một phần do những thách thức kể trên và cũng một phần do những ứng dụng vào các bài toán trung tâm của lý thuyết đa thế vị và giải tích phức như: Giải phương trình Monge-Ampère trên tập giải tích, đánh giá định lượng hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích,...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong CnMỞ ĐẦUI. Lý do chọn đề tàiHàm đa điều hoà dưới và tập giải tích là các đối tượng quan trọng của giải tíchphức nhiều biến. Tuy nhiên việc nghiên cứu đồng thời hai đối tượng này còn ítđược đề cập đến. Một trong những nguyên nhân là do sự hiện diện những điểmkỳ dị trên tập giải tích làm cho quá trình trơn hóa (hay là xấp xỉ địa phươngbằng tích chập) các hàm đa điều hòa dưới hay kỹ thuật lấy bao trên của họnhững hàm đa điều hòa dưới không còn tác dụng. Đây chính là hai công cụ kỹthuật được coi là tiêu chuẩn của lý thuyết đa thế vị phức trên các tập mở trongCn . Chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tíchtrong Cn vì một phần do những thách thức kể trên và cũng một phần do nhữngứng dụng vào các bài toán trung tâm của lý thuyết đa thế vị và giải tích phứcnhư: Giải phương trình Monge-Ampère trên tập giải tích, đánh giá định lượnghội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích,...II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứuĐể dễ theo dõi, ta bắt đầu bằng cách nhắc lại một số khái niệm cơ bản (xem [6])về tập giải tích. Cho D là tập mở trong Cn . Một tập con đóng V của D được gọilà tập giải tích nếu với mọi z0 ∈ V ta tìm được lân cận mở U của z0 và một họcác hàm chỉnh hình {fi }i∈I xác định trên U sao cho V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) =0, ∀i ∈ I}. Trên một tập giải tích có hai loại điểm là điểm kỳ dị và điểm chínhqui. Điểm a ∈ V được gọi là điểm chính qui nếu tồn tại một lân cận U của a đểV ∩ U là một đa tạp con phức số chiều k của U . Nói cách khác, tồn tại các hàmchỉnh hình f1 , ..., fn−k xác định trên U sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:a. V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) = 0, ∀1 6 i 6 n − k}; ∂fib. rank ( )1≤i≤n−k,1≤j≤n = n − k. ∂zjTrong trường hợp này chúng ta sẽ viết dima V = k . Tập các điểm chính qui củaV được ký hiệu là Vr và Vs := V Vr là tập các điểm kỳ dị của V . Số chiều củatập giải tích V được định nghĩa là dim V = max dima V. a∈VrChúng tôi sẽ tập trung tìm hiểu các vấn đề sau đây xoay quanh các hàm đa điều 1hòa dưới xác định trên tập giải tích trong Cn .Vấn đề 1. Cho V là tập con giải tích của miền bị chặn D trong Cn . Tìm cácđiều kiện trên V để mọi hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên xác định trên V cóthể xấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dưới trên V và liên tục trên V¯ . Từ đó tìmứng dụng vào việc giải quyết bài toán Dirichlet với giá trị biên liên tục (có thểtrừ ra một tập kỳ dị đủ nhỏ).Vấn đề 2. Xây dựng một cách định lượng những nguyên lý so sánh đối với cáchàm đa điều hòa dưới bị chặn. Từ đó tìm áp dụng vào việc nghiên cứu các điềukiện đủ cho hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới thông qua hội tụ của giátrị biên của chúng cùng với hội tụ của dãy các độ đo Monge-Ampère tương ứng. Để hiểu rõ hơn các hướng nghiên cứu này, chúng tôi sẽ bình luận các kết quảmà những nhà toán học trước đó đã đạt được. Đối với những miền mở bị chặntrong Cn thì vấn đề 1 đã được nghiên cứu bởi F. Wikstrom và sau đó bởi N.Q. Diệu và Wikstrom cách đây khoảng 15 năm trong các công trình [18], [11],[8]. Điểm mấu chốt là các tác giả này sử dụng một định lý đối ngẫu cổ điển củaEdwards trong [12] nhằm đưa bài toán xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới về việc sosánh các lớp độ đo Jensen ứng với những nón hàm đa điều hòa dưới khác nhau.Khi chuyển sang tập giải tích thì có một số kết quả ban đầu đạt được trong [19].Những kết quả này có hạn chế là luôn giả thiết tập giải tích V đã có một lâncận mở B−chính qui trong Cn . Đối với vấn đề 2, ngoài các công trình kinh điểncủa Bedford và Taylor trong [2], [3], [4] hay Cegrell trong [5], chúng ta phải kểđến các kết quả gần đây hơn của Xing trong citeXi1 và nhất là [21], ở nhữngcông trình này, những đánh giá định lượng của nguyên lý so sánh đã được đưara. Một lần nữa, khi nghiên cứu bài toán xấp xỉ cho vấn đề thứ 2, chúng tôi đãphải vượt qua một khó khăn đáng kể là thiết lập các công thức tích phân từngphần cho các dòng dương trên những tập giải tích có kỳ dị Ngoài ra, một ý mớicủa chúng tôi là đã lần đầu tiên đề cập tới việc làm yếu điều kiện biênIII. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨUMột khó khăn khi làm việc với các tập giải tích là sự xuất hiện những điểm kỳdị nên ngoài các phương pháp truyền thống của Nguyễn Quang Diệu và FrankWikstrom (sử dụng các định lý đối ngẫu Edwards) hay của Bedford (nguyên lýso sánh đối với toán tử Monge-Ampère) trong trường hợp Cn , chúng tôi còn phảikết hợp với các công cụ mạnh của lý thuyết đa thế vị phức trên tập giải tích nhưnhững kết quả của Fornaess và Narasimhan về đặc trưng hàm điều hòa dưới,công thức tích phân từng phần đối với các dạng vi phân trên tập giải tích,... 2Chương 1Tổng quan về các vấn đề trong luận án1.1 Hàm điều hòa dướiTa bắt đầu bằng việc trình bày lại các định nghĩa cùng với một số kết ...