Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học "Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức" được nghiên cứu với mục tiêu: Dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức; Xây dựng chặn trên cho chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương; Nghiên cứu về tính ổn định của chỉ số chính quy của iđêan phủ của lớp đồ thị hai phần.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thứcVIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRƯƠNG THỊ HIỀN LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨCChuyên ngành: Đại số và lý thuyết sốMã số: 9 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2023Mở đầu Cho R = k[x1 , . . . , xr ] là vành đa thức của r biến x1 , . . . , xr trên trườngk và I là iđêan thuần nhất của R. Đối tượng nghiên cứu trong luận áncủa chúng tôi là chỉ số chính quy Castelnouvo-Mumford (gọi tắt là chỉ sốchính quy) của iđêan, ký hiệu reg(I). Đối với lũy thừa thường của iđêanI, hàm reg(I n ) không tuân theo một quy luật nào khi n nhỏ. Tuy nhiên,dựa trên tính chất phân bậc chuẩn của đại số Rees của I thì Cutkosky,Herzog, N. V. Trung [9] độc lập với Kodiyalam [33] đã chứng minh rằngreg(I n ) là một hàm tuyến tính khi n đủ lớn. Điều này có nghĩa là, tồn tạicác số nguyên không âm d, b và n0 sao cho reg(I n ) = dn + b với mọi n n0 . Trong khi hệ số d đã được mô tả một cách rõ ràng (xem [33], [46]), thìcác thông tin về b và n0 còn rất ít. Hơn nữa, hai câu hỏi rất tự nhiên đượcđặt ra (xem [9], [33], [14]): 1. Đặc trưng của số b? 2. Tìm chặn tốt cho n0 ? Khi chuyển sang lũy thừa hình thức của iđêan thì dáng điệu của hàmchỉ số chính quy trở nên phức tạp hơn. Nhắc lại rằng, lũy thừa hình thứcthứ n của I được định nghĩa I (n) = I n Rp ∩ R. p∈Min(R/I) 1 2Nói cách khác, lũy thừa hình thức thứ n của I là giao của các thành phầnnguyên sơ của I n liên kết với các iđêan nguyên tố tối tiểu của I. Lý do cho sự phức tạp đó là đại số Rees hình thức, được định nghĩa bởi Rs (I) = R ⊕ I (1) ⊕ I (2) ⊕ · · · ,không là đại số hữu hạn sinh trên trường k trong trường hợp tổng quát. Cho đến thời điểm hiện tại, chúng ta vẫn chưa có một ví dụ nào vềmột iđêan thuần nhất I trong vành đa thức mà limn→∞ reg I (n) /n khôngtồn tại. Từ đó một câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra là liệu giới hạnlimn→∞ reg I (n) /n có tồn tại với mọi iđêan thuần nhất I trên một vành đathức (Herzog, L. T. Hoa, N. V. Trung [25, Câu hỏi 2])? Đối với trường hợp I là iđêan đơn thức, theo kết quả của Herzog, Hibivà N. V. Trung [23] thì đại số Rees hình thức là hữu hạn sinh nhưng khôngnhất thiết là phân bậc chuẩn, do đó hàm chỉ số chính quy của lũy thừahình thức của iđêan đơn thức I là một hàm tựa tuyến tính khi n đủ lớn. Nhắc lại, một hàm f : N → Q ∪{−∞} được gọi là tựa tuyến tính nếutồn tại một số nguyên dương N và các số ai ∈ Q ∪{−∞}, bi ∈ Q, vớii = 0, . . . , N − 1, sao cho f (n) = ai n + bi , với mọi n ∈ N, n ≡ i (mod N ).Số N nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là chu kì của hàm f . Ta thấy rằng, mặc dù hàm chỉ số chính quy reg I (n) của iđêan đơn thứcI là một hàm tựa tuyến tính khi n đủ lớn, nhưng các hệ số đầu ai khôngnhất thiết bằng nhau. Hay nói cách khác, giới hạn limn→∞ reg I (n) /n chưahẳn đã tồn tại. Do đó, chúng tôi nghiên cứu bài toán thứ nhất của luậnán như sau. Bài toán 1. Cho I là một iđêan đơn thức trên R. Tồn tại hay không reg(I (n) )giới hạn lim ? n→∞ n Trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương, các tácgiả L. T. Hoa, T. N. Trung [30, Định lý 4.9], đã chứng minh được sự tồn 3tại của giới hạn limn→∞ reg(I (n) )/n. Kết quả chính đầu tiên của luận ánchúng tôi đã mở rộng điều này đối với trường hợp I là một iđêan đơn thứcbất kì. Công cụ để chúng tôi giải quyết bài toán thứ nhất xuất phát từ lýthuyết của đa diện lồi. Giả sử I có phân tích nguyên sơ thu gọn I = Q1 ∩ · · · ∩ Qs ∩ Qs+1 ∩ · · · ∩ Qt ,trong đó Q1 , . . . , Qs là các iđêan nguyên sơ liên kết với các iđêan nguyêntố tối tiểu của I (tức là, Qs+1 , . . . , Qt là các thành phần nguyên sơ nhúng).Ta định nghĩa đa diện lồi liên kết với I như sau: SP(I) = N P (Q1 ) ∩ · · · ∩ N P (Qs ) ⊂ Rr ,trong đó N P (Qi ) là các đa diện Newton của Qi . Khi đó, SP(I) là một đadiện lồi trong Rr . Với vectơ v = (v1 , . . . , vr ) ∈ Rr , ký hiệu |v| = v1 +· · ·+vr .Đặt δ(I) = max{|v| | v là một đỉnh của SP(I)}.Từ đó, chúng tôi thu được kết quả sau (xem Định lý 2.5, Định lý 2.7): Với mọi iđêan đơn thức I, d(I (n) ) reg(I (n) ) lim = lim = δ(I). n→∞ n n→∞ n Với kết quả thu được, câu hỏi đặt ra tiếp theo là liệu reg I (n) có phảilà một hàm tuyến tính hay không? Tuy nhiên điều này không đúng ngaycả trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương (Ví dụ2.16). Như vậy chúng ta thấy rằng, nhìn chung reg I (n) không là một hàmtuyến tính đối với iđêan đơn thức I. Do đó, bài toán tiếp theo chúng tôinghiên cứu như sau. Bài toán 2. Cho I là một iđêan đơn thức. Tìm một chặn tốt choreg(I (n) ) theo n. 4 Trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương, theo cáctác giả L. T. Hoa và T. N. Trung (xem [30, Định lý 4.9]), ta có reg(I (n) ) <δ(I)n + dim(R/I) + 1 với mọi n 1. Gần đây, bài toán trên đã có nhiềukết quả khi nghiên cứu đối với một loại iđêan đặc biệt hơn, iđêan cạnhcủa đồ thị G, ký hiệu I(G). Một số kết quả có thể kể đến như: Gu, Hà,O’Rourke và Skelton [19] xét trong trường hợp iđêan cạnh của một chutrình lẻ I = I(C2s+1 ) thì reg(I (n) ) = reg(I n ) với mọi n 1, và reg(I (n) ) = 2s+12n + 3 − 1; theo Fakhari [17], ta có reg(I(G)(n+1) ) max{reg(I(G)) +2n, reg(I(G)(n+1) + I(G)n )} và trong trường hợp G là đồ thị không cóchu trình lẻ nào có ...