Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động

Mục đích nghiên cứu của tóm tắt luận án "Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động" là tổng quát các kết quả của các định lí về hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ; Cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình với hàm đếm có trọng; Cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh phức n chiều;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN AN MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI VÀ SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA ÁNH XẠ PHÂNHÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC VỚI MỤC TIÊU DI ĐỘNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.01.05 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2024Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Sĩ Đức Quang và PGS.TS. Phạm Đức Thoan.Phản biện 1: GS. TSKH. Hà Huy Khoái, Trường Đại học Thăng Long.Phản biện 2: GS. TS. Trần Văn Tấn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Thạc Dũng, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốcgia Hà Nội.MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Năm 1925, R. Nevanlinna bắt đầu nghiên cứu về việc các hàm phân hình xácđịnh trên C phân bố giá trị như thế nào và xây dựng một lý thuyết mới gọi làLý thuyết phân bố giá trị, hay Lý thuyết Nevanlinna. Trong lý thuyết này, có haiđịnh lí cốt yếu: Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Nhờ vào haiđịnh lí trên, ông đã chứng minh được hai kết quả nổi tiếng về tính duy nhất củahàm phân hình là Định lí bốn điểm và Định lí năm điểm. Cho đến nay có rấtnhiều công trình nghiên cứu mở rộng hai kết quả này. Một trong những hướngmở rộng đó là nghiên cứu trường hợp những mục tiêu là các hàm nhỏ hoặc cáccặp hàm nhỏ. Một trong các kết quả tốt nhất đạt được gần đây là của P. Li vàC. C. Yang. Hai tác giả này đã chứng minh rằng với hai hàm phân hình tùy ýkhác hằng, nếu có chung ảnh ngược, đếm cả bội, của ba cặp hàm nhỏ và có chungảnh ngược, không kể bội, của một cặp hàm nhỏ khác thì liên kết với nhau bởimột phép biến đổi tựa M¨bius. Kết quả này chưa đề cập đến trường hợp bội được ochặn ở một bậc nào đó cũng như chưa xét đến việc bỏ qua các không điểm từmột mức nhất định. Nếu các trường hợp này được giải quyết thì ta sẽ nhận đượcnhững kết quả cải tiến hơn nữa cho hướng nghiên cứu này. Trong Lý thuyết Nevanlinna, việc nghiên cứu, cải tiến và đưa ra các dạng mớicủa Định lí cơ bản thứ hai luôn là vấn đề chính được nhiều tác giả quan tâm.Định lí cơ bản thứ hai đầu tiên cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức được đưara bởi H. Cartan vào năm 1933, sau đó được các tác giả W. Stoll, M. Ru, M.Shirosaki, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang cải tiến. Gần đây, S. Đ. Quang đã đưa ramột số dạng Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) vớisiêu phẳng di động mà ở đó hàm đếm được chặn bội đến bậc n hoặc các hàm đếmđược xét với các trọng số khác nhau. Do vậy, một vấn đề thú vị được đặt ra làliệu có thể kết hợp cả hai hướng tổng quát trên để thu được các Định lí cơ bảnthứ hai cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với họ siêu phẳng di động và 1các hàm đếm có trọng được chặn bội, tối ưu và nhiều ứng dụng hơn. Theo một hướng nghiên cứu khác, để tổng quát kết quả của H. Cartan , W.Stoll và một số nhà toán học khác đã nghiên cứu việc thay thế Cm bởi các đa tạpparabolic. Dựa theo kỹ thuật của Y. Liu khi nghiên cứu bài toán không gian conSchmidt trong xấp xỉ Diophantine, Q. Yan đã thiết lập được Định lí cơ bản thứhai với mục tiêu di động trên đa tạp parabolic mà tránh được việc sử dụng Bổ đềĐạo hàm logarit. Tuy nhiên, kết quả này lại yếu hơn rất nhiều so với các kết quảgần đây của S. Đ. Quang. Vì vậy, một vấn đề đặt ra ở đây là có thể hay khôngkết hợp kỹ thuật của Q. Yan và phương pháp của S. Đ. Quang để thiết lập Địnhlí cơ bản thứ hai cho lớp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào Pn (C) với siêuphẳng di động và các hàm đếm được chặn bội n, vừa mở rộng được kết quả củaS. Đ. Quang và đơn giản hóa được chứng minh. Một ứng dụng quan trọng của Định lí cơ bản thứ hai là nghiên cứu về sự phụthuộc đại số của các ánh xạ phân hình vào Pn (C) thông qua các giả thiết vềnghịch ảnh của họ các siêu phẳng di động. Kết quả đầu tiên về sự phụ thuộc đạisố cho họ các ánh xạ phân hình theo hướng này được đưa ra bởi M. Ru vào năm2001. Sau đó, kết quả của M. Ru được các tác giả P. Đ. Thoan, P. V. Đức và S.Đ. Quang cải tiến nhưng có thể thấy số siêu phẳng di động tham gia vào giả thiếtcủa các kết quả này là khá lớn. Từ đây cũng mở ra một vấn đề là cải tiến cácđịnh lí về phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình sao cho số mục tiêu di độngtham gia được giảm đi cũng như xét không gian nguồn tổng quát hơn là các đatạp parabolic. Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài Một số định lí cơ bản thứ hai và sựphụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêudi động, để xây dựng các dạng định lí cơ bản thứ hai mới với hàm đếm đượcchặn bội cho các ánh xạ phân hình tối ưu hơn các định lí đã biết, đồng thời ápdụng các kết quả ...