Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình

Mục đích của luận án nghiên cứu tính hữu hạn thông qua việc thiết lập định lí phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình từ C m vào không gian xạ ảnh P n (C) giao với 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————– VANGTY NOULORVANG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH DUY NHẤT VÀTÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.10.05 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Hà Nội, 01-2021 2 Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM ĐỨC THOAN PGS.TS. PHẠM HOÀNG HÀ Phản biện 1: GS.TSKH. Hà Huy Khoái Phản biện 2: PGS.TSKH. Tạ Thị Hoài An Phản biện 3: GS.TS. Trần Văn Tấn Luận án đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trườnghọp tại ....................... Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc Gia - Thư viện Trường Đại Học Sư Phạm HàNội 1 MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết phân bố giá trị được bắt đầu xây dựng bởi nhà toán họcnổi tiếng R. Nevanlinna từ những năm 20 của thế kỉ trước. Ngay từkhi ra đời, lý thuyết này đã thu hút được nhiều nhà toán học lớntrên thế giới quan tâm nghiên cứu. Nhiều kết quả đặc sắc và nhữngứng dụng to lớn của lý thuyết này trong những ngành toán học khácnhau đã được phát hiện. Nội dung cơ bản của lí thuyết phân bố giátrị là thiết lập định lí Cơ bản bản thứ 2, định lí nói về mối quan hệgiữa hàm đếm các không điểm với độ tăng của hàm đặc trưng. Địnhlí này có nhiều áp dụng trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất, tínhhữu hạn, tính phụ thuộc đại số, quan hệ số khuyết cũng như phânbố về mặt giá trị của các ánh xạ phân hình. Để thiết lập định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cmvào không gian xạ ảnh Pn(C), người ta dựa vào bổ đề Đạo hàmlogarit và tính chất của định thức Wronski. Tuy nhiên, năm 2006,R. Halburd và R. J. Korhonen đã thiết lập được định lí cơ bản thứhai cho ánh xạ phân hình từ C vào Pn(C) giao với các siêu phẳngcố dịnh cũng như các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát bằngcách thay định thức Wronski bởi định thức Casorati (c-Casorati vàp-Casorati) và thay bổ đề Đạo hàm logarit bởi một bổ đề tương tự,nó có tên là bổ đề q-dịch chuyển hoặc c-dịch chuyển cho các ánhxạ phân hình bậc 0 hoặc cho các ánh xạ phân hình có siêu bậc nhỏhơn 1 tương ứng. Từ đó, họ có thể nghiên cứu tính duy nhất củacác ánh xạ phân hình này theo kiểu định lí Picard tổng quát. Địnhlí Cơ bản thứ hai loại này được gọi là định lí Cơ bản thứ hai p-dịchchuyển hoặc c-dịch chuyển giao với các mục tiêu. Bằng cách tiếp cậntheo hướng này, năm 2016, T. B. Cao và R. J. Korhonen đã thiết 2lập định lí Cơ bản thứ hai p-dịch chuyển cho các ánh xạ phân hìnhtừ Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) giao với siêu phẳng ở vị trí dướitổng quát. Một cách tự nhiên là cần xây dựng định lí Cơ bản thứ hai p-dịchchuyển của ánh xạ phân hình bậc 0 từ Cm vào Pn(C) giao với cácsiêu mặt ở vị trí dưới tổng quát thông qua định thứ p-Casorati cũngnhư việc áp dụng nó vào nghiên cứu vấn đề duy nhất kiểu định líPicard tổng quát. Trong trường hợp một chiều, kể từ khi R. Halburd và R. J.Korhonen đưa ra được bổ đề c-dịch chuyển và định lí Cơ bản thứhai c-dịch chuyển cho các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1,định lí duy nhất kiểu Picard tương tự như định lí 5 điểm của R.Nevanlinna được nghiên cứu rất mạnh mẽ. Có rất nhiều kết quả thúvị theo hướng nghiên cứu này. Chẳng hạn, năm 2009, J. Heittokangasvà các đồng nghiệp đã chứng minh rằng nếu hàm phân hình f (z)có bậc hữu hạn chia sẻ 3 giá trị phân biệt đếm cả bội với hàm dịchchuyển f (z + c) thì f là một hàm tuần hoàn với chu kì c, tức làf (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C. Định lí kiểu Picard này được chínhcác tác giả trên cải tiến cho trường hợp chia sẻ hai giá trị đếm cảbội và một giá trị không đếm bội. Đầu năm 2016, K. S. Charak, R.J. Korhonen và G. Kumar đã đưa ra được phản ví dụ để chỉ ra rằngkhông có định lí duy nhất cho trường hợp 1 giá trị chia sẻ đếm cảbội và hai giá trị chia sẻ không đếm bội. Chú ý rằng, trong định lí 5điểm của R. Nevanlinna thì 5 giá trị chia sẻ là không cần đếm bội.Một câu hỏi đặt ra liệu có được định lí kiểu Picard trong trườnghợp số giá trị chia sẻ không đếm bội là 4 không? Các tác giả đã cốgắng trả lời câu hỏi trên và đã có được những kết quả theo hướngnày cho các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ 4 giá trị 3dưới một điều kiện về số khuyết. Năm 2018, W. Lin, X. Lin và A. Wu có được một phản ví dụ chỉra rằng kết quả đó không còn đúng nữa khi bội của các giá trị chiasẻ bị ngắt. Từ đó, họ đặt ra vấn đề nghiên cứu tính duy nhất kiểuđịnh lí Picard khi các giá trị bị ngắt bội. Một trong những mục tiêukhi nghiên cứu vấn đề duy nhất là giảm được số các giá trị chia sẻ.Theo đó, chúng tôi đặt ra vấn đề nghiên cứu và cải tiến các kết qủacủa W. Lin, X. Lin và A. Wu. Bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cmvào Pn(C) được bắt đầu nghiên cứu trong bài báo của S. Ji và chođến nay đã có nhiều kết quả được công bố. Một số kết quả tốt nhấtgần đây thuộc về Z. Chen và Q. Yan, S. Đ. Quang, S. Đ. Quang vàL. N. Quỳnh. Chú ý rằng, bằng việc nghiên cứu tính phụ thuộc đạisố của 3 hàm phân hình có ảnh ngược giao với 2n + 2 siêu phẳng ởvị trí tổng quát đã giúp S. Đ. Quang khẳng định được tính hữu hạncủa lớp các ánh xạ phân hình đó. Tuy nhiên, như đã nói ở trên việc giảm được số siêu phẳng chiasẻ trong các kết quả là một trong những đích quan trọng trong líthuyết phân bố giá trị. Do vậy, chúng tôi đặt ra mục đích nghiêncứu tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình từ Cm vào không gianxạ ảnh Pn(C) với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn 2n + 2 thông quatính phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình. Từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Một sốđịnh lí về tính duy nhất v ...