Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về mặt f- cực tiểu trong các không gian tích

Đề tài nghiên cứu nhằm thiết lập được một số kết quả về mối quan hệ giữa mặt f-cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng (co rút và tịnh tiến) của dòng độ cong trung bình; chứng minh được tính chất f-cực tiểu diện tích địa phương và cực tiểu diện tích toàn cục của các slice trong không gian tích cong với mật độ; thiết lập và chứng minh được các định lý kiểu Bernstein.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về mặt f- cực tiểu trong các không gian tích BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - - - - - - ∗∗∗ - - - - - - NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊNMỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62 46 01 05 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Tp HCM Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU 2. TS. NGUYỄN HÀ THANH Phản biện 1: PGS.TS. Kiều Phương Chi Phản biện 2: PGS.TS. Lê Anh Vũ Phản biện 3: TS. Nguyễn Duy Bình Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trườnghọp tại: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................vào . . . . . . giờ . . . . . . ngày . . . . . . tháng . . . . . . năm . . . . . . Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Đại học Sư phạm TP.HCM - Thư viện Khoa học Tổng hợp TP.HCM i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa nBR Hình cầu tâm O bán kính R trong RnGn Không gian Gauss n-chiềuK Độ cong GaussH, H~ Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bìnhHf , H~f Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình với mật độn, N Vectơ pháp đơn vị n−1SR Siêu cầu tâm O bán kính R trong RnCR Siêu trụ tâm O bán kính R trong Rn+1L(C) Độ dài Riemann của đường cong CLf (C) Độ dài của đường cong C theo mật độ e−fds, dA Phần tử diện tích Riemanndsf , dAf Phần tử diện tích theo mật độ e−fdV Phần tử thể tích RiemanndVf Phần tửpthể tích theo mật độ e−fr(x) r(x) = x21 + · · · + x2n , với x = (x1 , . . . , xn ) ∈ RnArea(M ) Diện tích của MAreaf (M ) f -diện tích của MVol(M ) Thể tích của MVolf (M ) f -thể tích của MTp Σ Không gian tiếp xúc của Σ tại pδij Ký hiệu Kronecker df∆f ; ∇f Laplace; Gradient của hàm f , tức là ∇f = dxi∇X Y Đạo hàm hiệp biến của trường vectơ Y dọc trường Xα(t) Đường cong α∂Ω Biên của miền Ω|x| Chuẩn của vectơ xp. i Trang thứ i trong tài liệu trích dẫn Kết thúc chứng minh ii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼHình Tên hình Trang1.2.1 Mặt cực tiểu Catenoid 121.2.2 Mặt cực tiểu Helicoid 131.2.3 Mặt cực tiểu Scherk 141.4.4 Đường cong Grim Reaper 202.1.1 Mật độ của không gian Gauss tập trung về gốc tọa độ 223.1.2 Mặt trụ là một không gian tích cong 383.1.3 Mặt hyperbolic 1-tầng là một không gian tích cong 383.1.4 Mặt Catenoid là một không gian tích cong 383.1.5 Vectơ kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong R31 423.2.5 Một phần của slice và đồ thị cùng biên 473.2.6 Slice P, đồ thị toàn phần Σ và Gn trong R+ ×w Gn 493.2.7 Đồ thị toàn phần Σ và Gn trong G+ ×a Gn 513.2.8 Slice P và đồ thị toàn phần Σ trong G+ ×a Gn 523.3.9 Đồ thị toàn phần f -cực đại Σ trong Gn × R1 57 1 MỞ ĐẦU Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (M, g) cùng với mộthàm mật độ trơn, dương e−f được dùng làm trọng số cho cả thể tíchvà chu vi. Thể tích với mật độ của một miền E và diện tích với mậtđộ của một siêu mặt Σ lần lượt được xác định bởi các công thức Z Z −f Volf (E) = e dV và Areaf (Σ) = e−f dA, E Σtrong đó dV và dA tương ứng là phần tử thể tích và phần tửdiện tích Riemann. Về mặt ký hiệu, người ta thường dùng bộ ba(M, g, e−f dV ) để chỉ đa tạp Riemann (M, g) cùng với với mật độe−f , đặc biệt khi M là không gian Ơclit Rn với tích vô hướng chínhtắc và mật độ e−f thì ta ký hiệu đơn giản là (Rn , e−f ). Trên đa tạp với mật độ (M, g, e−f dV ), M. Gromov (xem [26])đã mở rộng khái niệm độ cong trung bình H thành khái niệm độcong trung bình với mật độ của siêu mặt, ký hiệu Hf , xác định bởi 1 Hf := H + h∇f, Ni, n−1trong đó N là trường vectơ pháp đơn vị của siêu mặt. Định nghĩatrên đã được kiểm tra thỏa mãn các biến phân thứ nhất và thứ haicủa phiếm hàm diện tích với mật độ (xem [40]). Các khái niệm thể tích, chu vi, độ cong, độ cong trung bình, mặtcực tiểu,... với mật độ còn được gọi một cách đơn giản là f -thể tích,f -chu vi, f -độ cong, f -độ cong trung bình, f -mặt cực tiểu,... Đa tạp với mật độ liên quan đến Vật lý khi nghiên cứu các mặthoặc các vùng trên mặt có sự phân bố mật độ nội tại khác nhau tạicác điểm khác nhau, để xác định khối lượng của chúng ta cần tínhtích phân theo mật độ. Ngoài ra, đa tạp với mật độ còn liên quanđến lĩnh vực Kinh tế khi mặt phẳng xác suất Gauss, mặt phẳng R2 1 −r2 /2với mật độ 2π e , được dùng thường xuyên trong xác suất thống 2kê. Do đó, việc tìm hiểu Hình học vi phân với mật độ không nhữngcó ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn ý nghĩa thực tiễn. Đa tạp với mật độ đã xuất hiện khá lâu trong Toán học ...