Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào việc khảo sát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN HIỂN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRICTRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2019Công trình được hoàn thành tại trường Đại học VinhNgười hướng dẫn khoa học: 1. TS. Nguyễn Huy Chiêu 2. PGS. TS. Đinh Huy HoàngPhản biện 1:Phản biện 2:Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp trường Đại học Vinhvào hồi ... ngày ... tháng ... năm ...Có thể tìm hiểu luận án tại: 1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh 2. Thư viện Quốc gia Việt Nam 3 MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Nhằm bổ sung công cụ để khảo sát các bài toán tối ưu và bài toán liên quan, đầunhững năm 1960, R. T. Rockafellar và J.-J. Moreau đề xuất và nghiên cứu khái niệmdưới vi phân cho hàm lồi. Giữa thập niên 1970, F. H. Clarke và B. S. Mordukhovichđộc lập đưa ra các khái niệm dưới vi phân cho hàm có thể không lồi. Đạo hàm và đốiđạo hàm của ánh xạ đa trị xuất hiện vào đầu thập niên 1980. Bên cạnh đó, nhiềukhái niệm vi phân suy rộng khác cũng đã được giới thiệu và nghiên cứu. Năm 1998,R. T. Rockafellar và R. J.-B. Wets xuất bản cuốn sách chuyên khảo “VariationalAnalysis” trên cơ sở tổng hợp, hệ thống hóa và bổ sung những kết quả cơ bản theohướng nghiên cứu này, đánh dấu sự ra đời của Giải tích biến phân. Đến nay, giải tích biến phân bậc nhất đã khá hoàn thiện, trong khi đó giải tíchbiến phân bậc hai đang được nghiên cứu mạnh và phát triển nhanh. Lĩnh vực nàythu hút được sự chú ý của nhiều nhà toán học trong thời gian gần đây. Vi phân suy rộng đóng vai trò trung tâm trong giải tích biến phân và ứng dụng.Đối với bất kỳ cấu trúc vi phân suy rộng nào, luôn có hai vấn đề cơ bản được đặt ramột cách tự nhiên: thứ nhất là cấu trúc đó phản ánh được tính chất nào của hàmsố, ánh xạ hay tập hợp; thứ hai là làm thế nào để tính toán hoặc ước lượng cấu trúcđó theo dữ liệu ban đầu của bài toán. Thực tế là để giải quyết thấu đáo mỗi vấn đềnày người ta đều cần đến thông tin về tính chính quy nào đó của hàm số, ánh xạhay tập hợp có liên quan. Chính vì vậy, các tính chất chính quy là những đối tượngnghiên cứu quan trọng trong giải tích biến phân. Tính dưới chính quy mêtric là một trong những tính chất chính quy đáng chú ýtrong giải tích biến phân bậc nhất. Gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu vềtính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân bậc hai. Tuy vậy, vai trò củatính chất này trong giải tích biến phân bậc hai vẫn là một vấn đề thú vị cần đượckhảo sát thêm. Với các lý do như thế, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án của mình là “Một sốkết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứngdụng”. 42. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào việc khảosát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của tính dưới chính quymêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng.3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tính chính quy trong giải tích biếnphân, đạo hàm đồ thị dưới gradient, tính ổn định xiên (tilt stability) và tính chấttĩnh lặng cô lập (isolated calmness).4. Phạm vi nghiên cứu - Đối với vấn đề thứ nhất, luận án tập trung nghiên cứu khả năng của đạo hàmđồ thị dưới gradient trong việc nhận biết tính ổn định xiên cho các bài toán tối ưukhông ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề. Đồng thời, luận án cũng quantâm đến các bài toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc bất đẳng thức thỏa mãn điềukiện dưới chính quy mêtric với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc khả vi liên tụchai lần. - Đối với vấn đề thứ hai, luận án tập trung vào việc tính đạo hàm đồ thị dướigradient cho một lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtricvà sử dụng kết quả tính toán này để khảo sát tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạnghiệm cho một lớp phương trình suy rộng.5. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân và các kĩthuật của giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích biến phân, lý thuyếttối ưu.6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm về quy tắc tính toán trong giải tích biếnphân; đồng thời, luận án cũng đề xuất cách tiếp cận mới nghiên cứu tính ổn địnhxiên, cải thiện được một số kết quả về tính ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến;qua đó làm rõ hơn vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phânvà ứng dụng. Luận án là tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm nghiên cứulĩnh vực giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu và ứng dụng.7. Tổng quan và cấu trúc của luận án7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án Các tính chất chính quy đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân vàứng dụng. Một mặt, những tính chất này được dùng để thiết lập điều kiện cực trịvà nghiên cứu vấn đề ổn định cho các bài toán tối ưu và bài toán liên quan. Mặtkhác, chúng được sử dụng để phát triển hệ thống quy tắc tính toán trong giải tíchbiến phân. Ngoài ra, tính chất chính quy cũng được dùng để khảo sát sự hội tụ củacác thuật toán trong tối ưu số. Trong giải tích biến phân, các nhà toán học đã đề xuất và nghiên cứu nhiều kháiniệm chính quy khác nhau cho cả tập hợp, hàm giá trị thực mở rộng và ánh xạ đatrị. Một trong những tính chất chính quy rất quan trọng trong các nghiên cứu điềukiện tối ưu và quy tắc tính toán của các cấu trúc vi phân suy rộng là tính dưới chính 5quy mêtric. Năm 1979, A. D. Ioffe sử dụng tính chất này để đị ...