Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp phương trình trong không gian banach có thứ tự

Luận án nghiên cứu một số lớp phương trình với ánh xạ đa trị tổng quát chứa tham số trong không gian có thứ tự và sử dụng chuẩn nón, độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu phương trình trong không gian có thể không có thứ tự. Sau đây là bản tóm tắt luận án.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp phương trình trong không gian banach có thứ tự BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ------------------------------ VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNHTRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016Mục lục1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN 4 1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn. . . . . . . . . . . . 4 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn. . . . . 6 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ sở lân cận gốc. . . 6 1.4 Ứng dụng vào bài toán Cauchy trong thang không gian Banach. . . . . . . . . . 7 1.4.1 Trường hợp bài toán không nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Trường hợp bài toán có nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN 9 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc và định lý điểm bất động. . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị trong nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo và định lý điểm bất động. . . . . . . . . . 9 2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm trong không gian Banach. . . . . . 103 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ 11 3.1 Bậc tôpô tương đối của lớp ánh xạ đa trị cô đặc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.1 Tính nửa liên tục và compact của ánh xạ đa trị. . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.2 Bậc tôpô tương đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho một số lớp ánh xạ và ứng dụng vào bài toán điểm bất động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu. . . . . . . . 13 3.2.1 Tính liên tục của tập nghiệm dương của phương trình. . . . . . . . . . . 14 3.2.2 Khoảng giá trị tham số cho phương trình có nghiệm: . . . . . . . . . . . 14 3.2.3 Ứng dụng vào một dạng bài toán điều khiển. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Bài toán giá trị riêng, véc tơ riêng dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.1 Sự tồn tại véctơ riêng và giá trị riêng dương. . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman của giá trị riêng dương, véc tơ riêng. . . 17 1 MỞ ĐẦU Lí thuyết về các không gian Banach có thứ tự và các phương trình trong chúng đượchình thành từ những năm 1940 trong các công trình của M.G.Krein và M.A.Rutman, đượcphát triển mạnh mẽ và đạt được những kết quả sâu sắc trong giai đoạn 1950–1980 trong cáccông trình của M.A.Krasnoselskii và các học trò, của E.N.Dancer, P.Rabinowitz, R.Nussbaum,W.V.Petryshyn,.... Lý thuyết này tiếp tục hoàn thiện cho đến tận hôm nay với những ứngdụng rộng rãi trong các lĩnh vực truyền thống (Lí thuyết phương trình vi phân, tích phân; cácphương trình xuất phát từ Vật lí, Hoá học, Sinh học) và các lĩnh vực mới (Lí thuyết điều khiển,Tối ưu hoá, Y học, Kinh tế học, Ngôn ngữ học,...). Trong thời gian tới, Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự có lẽ sẽ đi theo haihướng: một mặt tiếp tục phát triễn lí thuyết cho các lớp phương trình mới trong không gianthứ tự, mặt khác, tìm ứng dụng vào giải quyết các bài toán của các lĩnh vực khác mà ban đầucó thể không liên quan đến các phương trình trong không gian thứ tự. Luận án của chúng tôi sẽ trình bày các nghiên cứu theo hai hướng nêu trên. Cụ thể, theohướng thứ nhất chúng tôi nghiên cứu các phương trình xạ đa trị chứa tham số trong khônggian có thứ tự; ở hướng thứ hai chúng tôi sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trịtrong nón để nghiên cứu phương trình trong không gian có thể không có thứ tự. I. Sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứucác phương trình. Không gian với metric nón hoặc chuẩn nón (cũng còn gọi là không gian K-metric, khônggian K-chuẩn) là một mở rộng tự nhiên của các không gian metric, định chuẩn thông thườngkhi metric hoặc chuẩn nhận giá trị trong nón dương của một không gian có thứ tự. Chúng đượcđưa vào nghiên cứu từ những năm 1950 và được ứng dụng trong Giải tích số, Phương trình viphân, Lí thuyết điểm bất động,... trong các công trình của Kantorovich, Collatz, P.Zabreiko vànhà toán học khác. Ta có thể thấy sự hữu ích của việc sử dụng không gian với chuẩn nón quaví dụ sau. Giả sử ta có không gian định chuẩn thông thường (X; q) và ta muốn tìm điểm bấtđộng của ánh xạ T : X ! X. Trong một số trường hợp ta có thể tìm được không gian Banach(E; k:k) với thứ tự sinh bởi nón K E; ánh xạ tuyến tính dương liên tục Q : E ! E và chuẩnnón p : X ! K sao cho q (x) = kp (x)k và p (T (x) T (y)) Q [p (x y)] , x; y 2 X: (1)Từ (1) ta suy ra 9k > 0 : q (T (x) ...