Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp gần đúng giải phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp

Mục đích của luận án nhằm nghiên cứu lời giải gần đúng bài toán biên của phương trình elliptic và phương trình song điều hòa với hệ số gián đoạn hoặc với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Để hiểu rõ hơn về đề tài, mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết luận án!

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp gần đúng giải phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợpBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRƯƠNG HÀ HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số : 62.46.30.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học 1. GS.TS Đặng Quang Á 2. TS. Vũ Vinh Quang HÀ NỘI - 2013 PHẦN MỞ ĐẦU1. Tính cấp thiết của đề tài Nhiều bài toán vật lý và cơ học được mô hình hóa bởi các phương trình đạo hàm riêng. Vấnđề giải số hiệu qua phương trình đạo hàm riêng vẫn luôn là một trong những vấn đề được quantâm nhất trong toán học tính toán, đặc biệt khi hệ số không trơn (gián đoạn trên một mặt phâncách nào đó) hoặc điều kiện biên hỗn hợp mạnh (cả hai điều kiện biên dạng Dirichlet và Neumannđều xuất hiện và chuyển đổi tại một hay nhiều điểm trên biên). Mặc dù đã có rất nhiều công trìnhnghiên cứu lời giải gần đúng cho các bài toán hệ số gián đoạn và điều kiện biên hỗn hợp mạnhbằng các phương pháp khác nhau, đây vẫn là một vấn đề được các nhà khoa học quan tâm. Cáclược đồ sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn, các phương pháp xấp xỉ biên,.. đều trở nên phứctạp hơn khi phải chú ý đến mặt gián đoạn hay sự chuyển đổi của các điều kiện biên. Mặt khác cáccấu trúc của hệ phương trình đại số tuyến tính sẽ không còn đẹp đẽ như các trường hợp hệ số liêntục hay điều kiện biên đơn giản. Khi đó độ phức tạp của thuật toán tăng đáng kể. Trong khoảng 3thập kỷ gần đây, một hướng tiếp cận mới được các nhà khoa học đặc biệt quan tâm và có thể giảiquyết tốt vấn đề giải số lớp bài toán biên hỗn hợp mạnh hay hệ số gián đoạn. Đó là phương phápchia miền với ý tưởng chính là đưa bài toán phức tạp trên miền lớn về các bài toán đơn giản hơntrên các miền con và kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh để sau đó giải các bài toán con này bằngcác phần mềm có sẵn. Đây chính là hướng nghiên cứu được lựa chọn để giải gần đúng một số lớpbài toán biên của phương trình elliptic.2. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích của luận án: Nghiên cứu lời giải gần đúng bài toán biên của phương trình elliptic vàphương trình song điều hòa với hệ số gián đoạn hoặc với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các phương pháp trong giải tích số cho phương trình đạohàm riêng như: Phương pháp chia miền, phương pháp đưa bài toán cấp cao về dãy các bài toáncấp hai, kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm, phương pháp sai phân. Các phương pháp trên sẽ đượckết hợp một cách linh hoạt để xây dựng phương pháp mới phù hợp với từng bài toán cụ thể. Đểnghiên cứu sự hội tụ của các phương pháp được đề xuất, luận án sử dụng kỹ thuật đưa vào toántử biên thích hợp dẫn bài toán được xét về phương trình với toán tử đối xứng xác định dương hoặcdương và hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert và áp dụng lược đồ lặp hai lớp cho chúng.Việc hiện thực hóa các bước lặp này chính là việc giải các bài toán đối với phương trình cấp haitrong các miền hình học đơn giản.3. Những đóng góp mới của luận án- Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm giải bàitoán biên của phương trình elliptic với hệ số gián đoạn.- Đề xuất phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với các điều kiệnbiên hỗn hợp mạnh, áp dụng giải bài toán Motz.- Đề xuất phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàmgiải bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh.- Giải gần đúng các bài toán vết nứt, bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc haigiá đỡ bên trong.4. Bố cục của luận án 2 Luận án được bố cục thành 3 chương với nội dung tóm tắt như sau:Chương 1 : Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các nội dung trong luận án và các kết quả xâydựng thư viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu trong trường hợp toán tử vi phânlà toán tử elliptic với hệ số là hằng số trong miền chữ nhật.Chương 2 : Trình bày các kết quả nghiên cứu về phát triển phương pháp chia miền kết hợp kỹ thuậtlặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán elliptic cấp hai với hệ số gián đoạn, phương pháp lặp songsong giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh cho phép giải bài toán cỡ lớn trên cáchệ thống tính toán song song.Chương 3 : Trình bày các kết quả nghiên cứu về phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phươngtrình và kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợpmạnh. Giải gần đúng bài toán vết nứt và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong.Trong luận án, các kết quả lý thuyết được kiểm tra, thử nghiệm bằng các chương trình cài đặttrong môi trường Matlab 8.0. Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Phần này giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ sở được tham khảo từ các cuốn sách củacác tác giả Aubin, Adams, Cioranescu, Quarteroni và Rectorys:• Không gian Sobolev : Các khái niệm và định nghĩa về miền Lipschitz, không gian Sobolev, địnhlý vết, bất đẳng thức Poincare, công thức Green.• Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hòa: Phát biểu các bàitoán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất và các công thức yếu tương ứng.Trình bày về toán tử song điều hòa, phương trình song điều hòa và các loại điều kiện biên.• Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp: Các sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình toán tử ...