Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng

Luận án được nghiên cứu với mục tiêu nhằm Đề xuất một thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán chấp nhận tách với toán tử chuyển là tựa tuyến tính và chứng minh sự hội tụ của nó. Thuật toán được áp dụng cho mô hình Nash–Cournot có ràng buộc chung, cụ thể là dùng để tính toán thử nghiệm giải mô hình sản xuất điện thỏa mãn tỉ lệ của các loại điện trên nhiều số liệu khác nhau được tạo ngẫu nhiên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp giải bài toán chấp nhận tách suy rộng liên quan đến bài toán cân bằng ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH HUYỀNMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNGLIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN–NĂM 2020 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, Thái Nguyên.Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Lê Dũng MưuPhản biện 1:...................................................................Phản biện 2: ..................................................................Phản biện 3:...................................................................Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họptại: Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên.Vào hồi ... giờ ... ngày ... tháng ... năm 2019Mở đầu Bài toán cân bằng, còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan, được nghiêncứu trong luận án này có thể phát biểu một cách đơn giản như sau:Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Rn và f : C×C → Rlà một song hàm thỏa mãn f (x, x) = 0, với mọi x ∈ C (song hàm có tínhchất này thường được gọi là song hàm cân bằng). Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. EP(C, f )Bất đẳng thức trên được H. Nikaido và K. Isoda sử dụng lần đầu tiên vàonăm 1955 trong khi nghiên cứu trò chơi không hợp tác. Năm 1972, Ky Fangọi là bất đẳng thức minimax và ông đã đưa ra các kết quả về sự tồn tạinghiệm của bài toán này. Thuật ngữ bài toán cân bằng được sử dụng lầnđầu tiên bởi GS. L.D. Muu và W. Oettli năm 1992. Bài toán cân bằng baohàm nhiều lớp bài toán quen thuộc như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳngthức biến phân, bài toán điểm bất động Kakutani, bài toán cân bằng Nashtrong lý thuyết trò chơi không hợp tác, bài toán cân bằng véctơ, bài toáncân bằng tập... Các bài toán này, một số được trình bày bởi GS. L.D. Muuvà W. Oettli, sau đó được E. Blum và W. Oettli giới thiệu thêm trong côngtrình của mình vào năm 1994, gần đây được giới thiệu khá đầy đủ trongcuốn sách chuyên khảo của G. Bigi và các cộng sự. Ngoài ra, bài toán cânbằng còn được mở rộng sang các bài toán cân bằng véctơ, bài toán cân bằngtập, chẳng hạn bởi các tác giả P.H. Sach, N.X. Tan, T.X.D. Ha, D.V. Luu,...và cuốn chuyên khảo của G. Kassay. Trong vài chục năm trở lại đây, bài toán cân bằng được nghiên cứu cả vềtính chất định tính và các phương pháp giải. Về tính chất định tính, sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng được 1khảo sát bởi các tác giả M. Bianchi, R. Pini, G. Bigi, L.D. Muu, A. Iusem,G. Kassay, W. Sosa... Sự ổn định nghiệm, cấu trúc của tập nghiệm đượcnghiên cứu bởi L.Q. Anh, P.Q. Khanh, L.D. Muu và một số tác giả khác. Hướng nghiên cứu về phương pháp giải có thể nói là được quan tâm nhiềuhơn, chẳng hạn bởi P.K. Anh, L.D. Muu, D. Aussel, J. Contreras, B.V. Dinh,N.V. Quy, P.N. Anh, A. Iusem, D.V. Hieu, P. Santos, S. Scheimberg, L.Q.Thuy, T.N. Hai,... Do bài toán cân bằng bao hàm nhiều bài toán quan trọng,khó giải như là những trường hợp riêng, nên không hy vọng có một thuậttoán hiệu quả để giải bài toán cân bằng tổng quát. Vì thế người ta đã nghiêncứu các phương pháp giải bài toán cân bằng với những giả thiết nhất định.Các giả thiết thông thường hay được dùng là một tính chất đơn điệu nàođó và tính lồi, khả dưới vi phân theo biến thứ hai của song hàm f . Một số tiếp cận về phương pháp giải bài toán cân bằng có thể được chiara như sau: • Phương pháp điểm bất động cho ánh xạ co, hoặc không giãn, không giãn suy rộng dựa trên nguyên lý bài toán phụ. Nguyên lý bài toán phụ cho bài toán cân bằng EP (C, f ) liên quan đến bài toán cân bằng dưới đây Tìm x ∈ C : fα (x, y) := f (x, y) + αM (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C EP (C, fα ) trong đó α > 0, và M (được gọi là hàm khoảng cách Bregman) có tính chất (M1) Xác định trên toàn không gian, hàm M (x, .) lồi mạnh, khả vi và ∇M (x, x) = 0 với mọi x ∈ C . Nguyên lý bài toán phụ được G. Cohen đề xuất lần đầu tiên cho bài toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân lần lượt vào năm 1980 và 1988. Đến năm 2003, nguyên lý này đã được mở rộng cho bài toán cân bằng bởi G. Mastroeni. • Phương pháp hàm đánh giá (gap function). Ý tưởng chính của phương pháp hàm đánh giá là chuyển việc giải bài toán cân bằng về bài toán tối 2 ưu. Hai loại hàm đánh giá cơ bản là hàm đánh giá Auslender và hàm đánh giá Fukushima được định nghĩa lần lượt như sau gA (x) = − min{f (x, y) : y ∈ C} gF (x) = − min{f (x, y) + αM (x, y) : y ∈ C}, trong đó α > 0 và song hàm M có tính chất đã nêu ở trên. Như đã biết, x ∈ C , gA (x) = 0, hoặc gF (x) = 0 khi và chỉ khi x là nghiệm của bài toán EP (C, f ). Chú ý rằng bài toán quy hoạch lồi xác định gA (x) có thể không tồn tại nghiệm, và nếu có nghiệm thì nghiệm có thể không duy nhất. Tuy nhiên bài toán xác định gF (x), do M (x, .) lồi mạnh, nên luôn tồn tại duy nhất nghiệm.• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và điểm gần kề (proximal point). Các phương pháp này nhằm mục đích chuyển việc giải bài toán đặt không chỉnh, ví dụ các bài toán không duy nhất nghiệm, và/hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện ban đầu về việc giải các bài toán đặt chỉnh. Để đảm bảo tính duy nhất nghiệm, người ta thường dùng một song hàm hiệu chỉnh và một tham số hiêụ chỉnh để xây dựng bài toán phụ có duy nhất nghiệm phụ thuộc tham số hiệu chỉnh, và nghiệm duy nhất này sẽ hội tụ đến một nghiệm của bài toán ban đầu, khi tham số hiệu chỉnh tiến tới giá trị nhất định. Các phương pháp hiệu chỉnh này đã được sử dụng một cách hiệu quả cho bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, phương trình toán tử, bao hàm thức đơn điệu và gần ...