Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số quy tắc tính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng

Luận án này nghiên cứu một số khía cạnh ứng dụng của các quy tắc tính toán trong giải tích biến phân với các mục đích như sau: Tìm mối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi, các quy tắc tổng và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker; trả lời câu hỏi “Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet có đúng trong không gian Banach bất kỳ hay không?”; làm rõ khả năng của đối đạo hàm trong việc nhận biết tính đơn điệu của các ánh xạ liên tục và khả năng của dưới vi phân bậc hai trong việc nhận biết tính lồi của các hàm số khả vi liên tục; khảo sát tính ổn định Lipschitz-like của bất đẳng thức biến phân chứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số quy tắc tính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh ---------------------- nguyÔn thÞ quúnh trang Mét sè quy t¾c tÝnh to¸ntrong gi¶i tÝch biÕn ph©n vµ øng dông Chuyªn ngµnh: To¸n gi¶i tÝch M· sè: 62 46 01 02 Tãm t¾t luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc NghÖ An - 2015C«ng tr×nh ®îc hoµn thµnh t¹i Trêng §¹i häc VinhNgêi híng dÉn khoa häc: 1. PGS. TS. NguyÔn Quang Huy 2. PGS. TS. TrÇn V¨n ¢nPh¶n biÖn 1:Ph¶n biÖn 2:Ph¶n biÖn 3:LuËn ¸n sÏ ®îc b¶o vÖ tríc Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp Trêngvµo håi .... giê .... ngµy .....th¸ng ..... n¨m......Cã thÓ t×m hiÓu luËn ¸n t¹i: 1. Th viÖn NguyÔn Thóc Hµo, Trêng §¹i häc Vinh 2. Th ViÖn Quèc gia ViÖt Nam 1 Më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi 1.1 Gi¶i tÝch biÕn ph©n lµ mét bé phËn to¸n häc ®îc h×nh thµnh vµ ph¸ttriÓn nh»m trang bÞ c¸c c«ng cô ®Ó nghiªn cøu c¸c bµi to¸n tèi u vµ nh÷ng vÊn®Ò cã liªn quan. Mét mÆt, c¸c bµi to¸n tèi u thêng xuyªn xuÊt hiÖn trong c¸ckhoa häc øng dông. MÆt kh¸c, gi¶i quyÕt vÊn ®Ò dùa vµo tèi u lµ mét ph¬ngph¸p hiÖu qu¶ trong to¸n häc. §iÒu nµy lµm cho gi¶i tÝch biÕn ph©n trë thµnhmét lÜnh vùc ®¸ng quan t©m xÐt theo c¶ gãc ®é lý thuyÕt lÉn gãc ®é øng dông.LÜnh vùc nµy hiÖn ®ang ®îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m nghiªn cøu 1.2 HÖ thèng c¸c quy t¾c tÝnh to¸n ®ãng vai trß quan träng trong gi¶i tÝchbiÕn ph©n. Nã lµ cÇu nèi gi÷a nh÷ng kÕt qu¶ tæng qu¸t víi nh÷ng øng dông côthÓ. Theo B. S. Mordukhovich, bÊt kú cÊu tróc hay tÝnh chÊt nµo ®îc ®a ralµ cã tiÒm n¨ng sö dông chØ khi nã cã c¸c quy t¾c tÝnh to¸n tháa ®¸ng. ChÝnhv× vËy, ngay khi giíi thiÖu c¸c cÊu tróc vi ph©n suy réng ngêi ta ®· chó träng®Õn viÖc thiÕt lËp quy t¾c tÝnh to¸n cho chóng. HÖ thèng c¸c quy t¾c tÝnh to¸nbËc nhÊt cña vi ph©n suy réng trong gi¶i tÝch biÕn ph©n vÒ c¬ b¶n ®· ®Çy ®ñ.HiÖn nay, ph¸t triÓn quy t¾c tÝnh to¸n bËc hai ®ang lµ mét chñ ®Ò nghiªn cøucã tÝnh thêi sù trong gi¶i tÝch biÕn ph©n. Cïng víi viÖc t×m kiÕm quy t¾c tÝnhto¸n míi, sö dông c¸c quy t¾c tÝnh to¸n ®· ®îc thiÕt lËp ®Ó kh¶o s¸t c¸c tÝnhchÊt cña ¸nh x¹, hµm sè hoÆc tËp hîp còng lµ mét vÊn ®Ò rÊt ®îc quan t©m. 1.3 TÝnh ®¬n ®iÖu vµ tÝnh Lipschitz lµ nh÷ng tÝnh chÊt c¬ b¶n trong gi¶i tÝchbiÕn ph©n vµ øng dông. MÆc dï c¸c tÝnh chÊt nµy ®· ®îc nghiªn cøu m¹nhmÏ trong nh÷ng thËp kû qua, mét sè vÊn ®Ò thó vÞ liªn quan ®Õn chóng, ch¼ngh¹n nh, ®Æc trng ®èi ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®¬n ®iÖu, ®Æc trng díi vi ph©nbËc hai cña hµm låi, tÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz (Lipschitz-like) cña bÊt ®¼ngthøc biÕn ph©n trªn tËp låi ®a diÖn bÞ nhiÔu,..., ®Õn nay míi chØ ®îc gi¶i quyÕttháa ®¸ng cho mét sè trêng hîp díi nh÷ng gi¶ thiÕt nhÊt ®Þnh. C¸c trênghîp cßn l¹i vÉn ®ang cÇn ®îc kh¶o s¸t thªm. Sù ph¸t triÓn gÇn ®©y cña gi¶itÝch biÕn ph©n, ®Æc biÖt lµ hÖ thèng c¸c quy t¾c tÝnh to¸n, ®a ®Õn cho chóngta hy väng cã thÓ ®¹t ®îc nh÷ng bíc tiÕn míi theo híng nghiªn cøu nµy. Víi c¸c lý do nh thÕ, chóng t«i chän ®Ò tµi lµ Mét sè quy t¾c tÝnh to¸ntrong gi¶i tÝch biÕn ph©n vµ øng dông. 22. Môc ®Ých nghiªn cøu LuËn ¸n nµy nghiªn cøu mét sè khÝa c¹nh øng dông cña c¸c quy t¾c tÝnhto¸n trong gi¶i tÝch biÕn ph©n víi c¸c môc ®Ých nh sau: - T×m mèi quan hÖ gi÷a c«ng thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh qua¸nh x¹ kh¶ vi, c¸c quy t¾c tæng vµ ®iÒu kiÖn tèi u d¹ng Karush-Kuhn-Tucker; - Tr¶ lêi c©u hái §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho díi vi ph©n FrÐchetcã ®óng trong kh«ng gian Banach bÊt kú hay kh«ng? - Lµm râ kh¶ n¨ng cña ®èi ®¹o hµm trong viÖc nhËn biÕt tÝnh ®¬n ®iÖu cñac¸c ¸nh x¹ liªn tôc vµ kh¶ n¨ng cña díi vi ph©n bËc hai trong viÖc nhËn biÕttÝnh låi cña c¸c hµm sè kh¶ vi liªn tôc; - Kh¶o s¸t tÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËplåi ®a diÖn bÞ nhiÔu.3. §èi tîng nghiªn cøu C¸c quy t¾c tÝnh to¸n, ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ, tÝnh ®¬n ®iÖu cña¸nh x¹, tÝnh låi cña hµm sè, tÝnh æn ®Þnh kiÓu Lipschitz cña bÊt ®¼ng thøc biÕnph©n trªn tËp låi ®a diÖn.4. Ph¹m vi nghiªn cøu Mèi quan hÖ gi÷a c«ng thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn cña tËp nghÞch ¶nh qua ¸nhx¹ kh¶ vi, c¸c quy t¾c tæng d¹ng ®¼ng thøc vµ ®iÒu kiÖn tèi u d¹ng Karush-Kuhn-Tucker; tÝnh hiÖu lùc cña ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh xÊp xØ cho díi viph©n FrÐchet; c¸c ®iÒu kiÖn theo ®èi ®¹o hµm ®Ó mét ¸nh x¹ liªn tôc lµ ®¬n®iÖu vµ c¸c ®iÒu kiÖn theo díi vi ph©n bËc hai ®Ó mét hµm sè kh¶ vi liªn tôclµ låi; c¸c ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n trªn tËplåi ®a diÖn bÞ nhiÔu lµ æn ®Þnh kiÓu Lipschitz.5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i sö dông ph¬ng ph¸p tiÕp cËn biÕn ph©n ...