Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng

Nội dung nghiên cứu của luận án "Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng" gồm: Một số kết quả về phép tính vi phân suy rộng trong giải tích biến phân; Điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân; Điều kiện tối ưu bậc hai cho một lớp bài toán quy hoạch nón.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC VINH H€ ANH TU‡N MËT SÈ V‡N — TRONG GIƒI TCH BI˜N PH…N BŠC HAI V€ ÙNG DÖNG Chuy¶n ngnh: To¡n Gi£i t½ch M¢ sè: 9 46 01 02TÂM TT LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC NGH› AN - 2023Cæng tr¼nh ÷ñc hon thnh t¤i tr÷íng ¤i håc VinhNg÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS. TS. Nguy¹n Huy Chi¶uPh£n bi»n 1:Ph£n bi»n 2:Ph£n bi»n 3: Luªn ¡n ÷ñc b£o v» t¤i Hëi çng ch§m luªn ¡n c§p tr÷íng ¤i håc Vinhvo lóc 8h00 ngy ... th¡ng ... n«m 2023Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i:1. Trung t¥m thæng tin th÷ vi»n Nguy¹n Thóc Ho - Tr÷íng ¤i håc Vinh2. Th÷ vi»n Quèc gia Vi»t Nam 1 MÐ †U Gi£i t½ch bi¸n ph¥n l mët l¾nh vüc to¡n håc ÷ñc h¼nh thnh v ph¡t triºndo nhu c¦u nghi¶n cùu c¡c bi to¡n tèi ÷u, c¥n b¬ng v i·u khiºn, trong â ph²pt½nh vi ph¥n suy rëng n¬m ð và tr½ trung t¥m. T¶n gåi Gi£i t½ch bi¸n ph¥n chol¾nh vüc to¡n håc ny ÷ñc · xu§t n«m 1998 bði R. T. Rockafellar v R. J.-B.Wets v sau â ÷ñc ch§p nhªn rëng r¢i. Tuy nhi¶n, c¡c kh¡i ni»m cì b£n, nhúngþ t÷ðng ch½nh v nhi·u k¸t qu£ quan trång cõa gi£i t½ch bi¸n ph¥n ¢ tçn t¤i tøl¥u. Gi£i t½ch bi¸n ph¥n bªc hai l mët bë phªn cõa gi£i t½ch bi¸n ph¥n, nghi¶ncùu c¡c c§u tróc vi ph¥n suy rëng bªc hai v c¡c v§n · li¶n quan. Nhúng c§utróc ny xu§t hi»n mët c¡ch tü nhi¶n khi kh£o s¡t c¡c h» bi¸n ph¥n ÷ñc mæ t£thæng qua d÷îi vi ph¥n ho°c nân ph¡p tuy¸n. C§u tróc vi ph¥n suy rëng bªc haicông xu§t hi»n khi nghi¶n cùu c¡c bi to¡n tèi ÷u khæng trìn v tèi ÷u câ rngbuëc. Nhúng n«m g¦n ¥y, gi£i t½ch bi¸n ph¥n bªc hai thu hót ÷ñc sü quan t¥mnghi¶n cùu cõa nhi·u nh to¡n håc v nhi·u k¸t qu£ thó và theo h÷îng ny ¢÷ñc thi¸t lªp. Ph²p t½nh vi ph¥n suy rëng câ nhi·u ùng döng trong lþ thuy¸t tèi ÷u v tèi÷u sè. °c bi»t, nâ gióp mð rëng v hñp nh§t c¡c i·u ki»n cüc trà cho nhi·u lîpbi to¡n tèi ÷u. Ch¯ng h¤n, d÷îi vi ph¥n bªc nh§t ¢ ÷ñc dòng º thi¸t lªp c¡cquy tc Fermat suy rëng. Tø â, nhí h» thèng quy tc t½nh to¡n, ng÷íi ta d¨nra ÷ñc c¡c quy tc nh¥n tû Lagrange suy rëng. T÷ìng tü nh÷ c¡c c§u tróc viph¥n suy rëng bªc nh§t, c¡c c§u tróc vi ph¥n suy rëng bªc hai công câ vai tráquan trång trong vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u. i·u ki»n c¦n v i·u ki»nõ cüc trà cho hm ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi biºu di¹n ÷ñc thæng qua t½nhnûa x¡c ành d÷ìng v x¡c ành d÷ìng cõa d÷îi ¤o hm bªc hai. Tªp ti¸p xócbªc hai ÷ñc dòng º thi¸t lªp i·u ki»n cüc trà cho c¡c bi to¡n tèi ÷u câ rngbuëc. D÷îi vi ph¥n bªc hai Fr²chet ¢ ÷ñc dòng trong c¡c i·u ki»n c¦n cüc tràcho bi to¡n tèi ÷u trìn khæng rng buëc v câ rng buëc tuy¸n t½nh. Tø ph÷ìng di»n tèi ÷u sè, c¡c i·u ki»n tèi ÷u âng vai trá thi¸t y¸u trongvi»c thi¸t k¸ v ph¥n t½ch sü hëi tö cõa c¡c thuªt to¡n. M°t kh¡c, khi gi£i c¡c bito¡n thüc t¸ ng÷íi ta th÷íng c¦n sü hé trñ cõa m¡y t½nh v k¸t qu£ thu ÷ñc lnhúng líi gi£i sè (vîi mët ti¶u chu©n døng no â, sau húu h¤n b÷îc l°p, m¡yt½nh s³ xu§t ra mët nghi»m, gåi l líi gi£i sè). Do nhi·u nguy¶n nh¥n kh¡c nhau,nhi¹u v sai sè xu§t hi»n trong qu¡ tr¼nh gi£i l khæng thº tr¡nh khäi. i·u nyd¨n ¸n ë tin cªy cõa mët líi gi£i sè phö thuëc r§t lîn vo °c t½nh ên ành cõabi to¡n. Ch½nh v¼ th¸, ng÷íi ta r§t quan t¥m ¸n c¡c i·u ki»n tèi ÷u £m b£omët sü ên ành no â cõa nghi»m. Möc ½ch nghi¶n cùu cõa luªn ¡n l sû döng 2v ph¡t triºn mët sè cæng cö cõa gi£i t½ch bi¸n ph¥n bªc hai º thi¸t lªp c¡c i·uki»n tèi ÷u lo¤i ny. Nh¬m lm rã c¡c v§n · nghi¶n cùu, ti¸p theo chóng tæi s³ nhc l¤i mët sèk¸t qu£ v· i·u ki»n tèi ÷u £m b£o sü ên ành cõa nghi»m v mët sè v§n · li¶nquan ¸n nhúng âng gâp cõa luªn ¡n. N«m 1980, S. M. Robinson ¢ giîi thi»u i·u ki»n õ bªc hai m¤nh cho quyho¤ch phi tuy¸n v chùng minh r¬ng èi vîi lîp bi to¡n ny n¸u i·u ki»n chu©nhâa rng buëc ëc lªp tuy¸n t½nh v i·u ki»n õ bªc hai m¤nh ÷ñc thäa m¢nt¤i iºm døng th¼ h» Karush-Kuhn-Tucker l ch½nh quy m¤nh t¤i iºm t÷ìng ùng.N«m 1995, J. F. Bonnans v A. Sulem ch¿ ra r¬ng n¸u iºm døng ÷ñc x²t l mëtcüc tiºu àa ph÷ìng th¼ chi·u ng÷ñc l¤i công óng. N«m 1996, A. L. Dontchevv R. T. Rockafellar chùng minh ÷ñc r¬ng: t½nh ch½nh quy m¤nh cõa b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp lçi a di»n l t÷ìng ÷ìng vîi t½nh ch§t Aubin cõa ¡nhx¤ nghi»m cõa bi to¡n tuy¸n t½nh hâa cõa nâ vîi nhi¹u chu©n tc. Nhí â, b¬ngc¡ch sû döng ti¶u chu©n Mordukhovich cho t½nh ch§t Aubin, c¡c t¡c gi£ ny thu÷ñc °c tr÷ng t½nh ch§t ch½nh quy m¤nh cõa bi to¡n qua i·u ki»n m°t tîi h¤n.Mët sè mð rëng cõa c¡c k¸t qu£ · cªp ð tr¶n ¢ ÷ñc thi¸t lªp cho lîp bi to¡nquy ho¤ch nân bªc hai v lîp bi to¡n quy ho¤ch nûa x¡c ành. N«m 1998, R. A. Poliquin v R. T. Rockafellar giîi thi»u kh¡i ni»m cüc tiºuàa ph÷ìng ên ành xi¶n. Ð â, hai t¡c gi£ ny ¢ thi¸t lªp mët °c tr÷ng cõaiºm cüc tiºu àa ph÷ìng ên ành xi¶n qua t½nh x¡c ành d÷ìng cõa d÷îi vi ph¥nbªc hai qua giîi h¤n cho lîp hm ch½nh quy g¦n k· li¶n töc d÷îi vi ph¥n. èivîi quy ho¤ch phi tuy¸n thäa m¢n i·u ki»n chu©n hâa rng buëc ëc lªp tuy¸nt½nh, t½nh ên ành xi¶n cõa cüc tiºu àa ph÷ìng v t½nh ch½nh quy m¤nh cõa h»Karush-Kuhn-Tucker l t÷ìng ÷ìng. Tuy nhi¶n, kh¡c vîi t½nh ch½nh quy m¤nhcõa h» Karush-Kuhn-Tucker, t½nh ên ành xi¶n cõa cüc tiºu àa ph÷ìng khængk²o theo i·u ki»n chu©n hâa rng buëc ëc lªp tuy¸n t½nh ÷ñc thäa m¢n. i·uny gâp ph¦n thóc ©y c¡c nh to¡n håc ti¸p töc nghi¶n cùu t½nh ên ành xi¶ncõa cüc tiºu àa ph÷ìng cho c¡c quy ho¤ch phi tuy¸n vîi nhúng i·u ki»n chu©nhâa y¸u hìn. V¼ quy tc t½nh d÷îi vi ph¥n bªc hai qua giîi h¤n th÷íng y¶u c¦u i·u ki»nchu©n hâa m¤nh n¶n °c tr÷ng ên ành xi¶n cõa Poliquin v Rockafellar khâ ¡pdöng cho bi to¡n tèi ÷u ch¿ thäa m¢n i·u ...