Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Phương pháp hệ vô hạn giải gần đúng một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội

Luận án trình bày về các nội dung: một số kiến thức cơ bản về phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình vô hướng ba điểm, hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, lưới tựa đều; phương pháp hệ vô hạn giải một số bài toán biên tuyến tính một chiều trênnửa trục; phương pháp gần đúng giải một số bài toán biên tuyến tính hai chiều trong nửa dải. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Phương pháp hệ vô hạn giải gần đúng một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nộiBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOVIỆN HÀN LÂM KHOA HỌCVÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAMHỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ……..….***…………TRẦN ĐÌNH HÙNGPHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNGMỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNHTRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘIChuyên ngành: Toán ứng dụngMã số: 62 46 01 12TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCHà Nội – 2016Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt NamNgười hướng dẫn khoa học: GS. TS. Đặng Quang ÁPhản biện 1: PGS. TS. Hà Tiến NgoạnPhản biện 2: PGS. TS. Hoàng Văn LaiPhản biện 3: TS. Nguyễn Công ĐiềuLuận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại Họcviện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệViệt Nam vào hồi … giờ …, ngày … tháng … năm 201….Có thể tìm hiểu luận án tại:- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ- Thư viện Quốc gia Việt NamMỞ ĐẦUNhiều bài toán vật lý, cơ học, môi trường, . . . được đặt ra trong các miền khônggiới nội (hay còn gọi là các miền vô hạn), chẳng hạn, bài toán truyền nhiệt trongthanh dài vô hạn hoặc nửa vô hạn, bài toán lan truyền khí thải trong khí quyển,bài toán thăm dò địa chất bằng điện trường, bài toán lan truyền sóng trong cáclĩnh vực: âm học, khí động học, địa vật lý chất rắn, hải dương học, khí tượng học,điện từ, ... Để giải quyết các bài toán này, người ta thường hạn chế xét bài toántrong miền giới nội và sử dụng nhiều phương pháp đã có để tìm nghiệm chính xáchoặc nghiệm gần đúng trong miền hữu hạn này. Khi đó một loạt vấn đề đặt ra làxét miền rộng bao nhiêu là đủ và đặt điều kiện trên biên ảo như thế nào để thuđược nghiệm gần đúng xấp xỉ tốt nghiệm của bài toán trong miền không giới nội.Cách làm đơn giản nhất là chuyển nguyên điều kiện biên tại vô cùng vào biên ảo.Cách làm thô thiển này tất nhiên có thể dẫn đến sự sai khác lớn của nghiệm bàitoán gốc. Vì thế, thay cho việc chuyển nguyên điều kiện biên người ta tìm cáchđặt điều kiện biên thích hợp trên biên ảo. Những điều kiện biên này được gọi làđiều kiện biên nhân tạo hay điều kiện biên hấp thụ (ABC) (artificial or absorbingboundary condition) khi một số năng lượng bị hấp thụ trên biên. Hiện nay, hầuhết các kỹ thuật được áp dụng để thiết lập ABC có thể chia thành hai cách thựchiện: Cách thứ nhất (ABC toàn cục), ABC thường được cho dưới dạng các biểuthức tích phân trên biên ảo. ABC toàn cục thường đạt được độ chính xác cao vàthuật toán số tin cậy nhưng lại khá phức tạp và khó thực hiện tính toán. Cáchthứ hai (ABC địa phương), ABC thường được cho dưới dạng một phương trìnhtrên biên ảo. ABC địa phương có thuật toán đơn giản, dễ dàng thực hiện giảisố tuy nhiên chúng lại có độ chính xác không cao bằng. Tsynkov đã thực hiệnso sánh một số bài toán đánh giá sự khác biệt của hai cách thực hiện trên. Nếunghiệm xấp xỉ hạn chế trên miền giới nội trùng với nghiệm chính xác trên miềnkhông giới nội thì các ABC này được gọi là các ABC chính xác hay điều kiện biêntrong suốt (transparent boundary condition).Trong các bài toán về phương trình sóng (điện từ, âm thanh, địa chấn,...),ABC thường được đề cập đến như các điều kiện biên không phản xạ (NRBC)(non-reflecting boundary condition). Chúng được xây dựng với mục đích xấp xỉnghiệm chính xác của bài toán trong miền không giới nội giới hạn trong miền giớinội. Sử dụng NRBC, miền không giới nội được chia thành hai phần, miền hữuhạn tính toán và miền vô hạn còn lại. Điều kiện biên đặc biệt được thiết lập trênABC đảm bảo nghiệm trong miền hữu hạn là duy nhất và không có (hoặc rấtít) sự phản xạ của sóng ảo xảy ra từ ABC. Đây là hướng nghiên cứu được rất1nhiều nhà toán học, cơ học, vật lý quan tâm. Các ABC chính xác được nghiêncứu cho phương trình truyền nhiệt, phương trình khuếch tán-truyền tải, phươngtrình Schrodinger, ...Trong các bài toán trong miền không giới nội sử dụng ABC, có một nhận xétrằng trong các giả thiết của bài toán gốc, hàm vế phải và các điều kiện biên banđầu thông thường được giả thiết có giá compact trong không gian. Đây là điềukiện quan trọng trong việc chia miền không giới nội thành hai miền tính toán congiới nội và không giới nội trong các phương pháp sử dụng ABC.Gần đây một số nhà toán học Nga đã đề xuất một cách xử lý mới các bài toántrong miền vô hạn, đó là sử dụng lưới tính toán tựa đều. Phương pháp này dựatrên việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tới miền giới nội. Một lướiđều trong miền bị chặn ánh xạ tới một lưới không đều được gọi là lưới tựa đềutrong miền vô hạn. Theo lưới tựa đều, điều kiện biên tại vô cùng được xử lý mộtcách dễ dàng. Ý tưởng của phương pháp này xuất hiện từ những năm bảy mươicủa thế kỷ trước nhưng việc sử dụng nó để giải các bài toán trong miền khônggiới nội chỉ mới cách đây hơn một thập kỷ.Khác với các cách làm trên, chúng tôi tiếp cận tới các bài toán biên tuyến tínhtrong miền không giới ...