Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn

Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp lặp kết hợp với các phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài toán biên hai điểm đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm, trong đó không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo,... của hàm vế phải.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốnBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ……..….***………… NGÔ THỊ KIM QUY PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2017Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt NamNgười hướng dẫn khoa học 1: GS. TS. Đặng Quang ÁNgười hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS. Hà Tiến NgoạnPhản biện 1: …Phản biện 2: …Phản biện 3: ….Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại Họcviện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệViệt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng … năm 201….Có thể tìm hiểu luận án tại:- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ- Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU1. Tính cấp thiết của luận án Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác được mô tả bởicác phương trình và hệ phương trình vi phân với các điều kiện biên khác nhau.Có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phâncấp bốn không đầy đủ và phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ. Phương trìnhvi phân cấp bốn mà trong đó hàm vế phải chứa ẩn hàm và chứa đầy đủ các đạohàm các cấp của nó (từ cấp một đến cấp ba) được gọi là phương trình vi phâncấp bốn đầy đủ. Ngược lại, phương trình được gọi là phương trình vi phân cấpbốn không đầy đủ. Bài toán biên đối với phương trình vi phân đã thu hút được sự quan tâm củacác nhà khoa học như Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhós,.... Một số nhàtoán học và cơ học Việt Nam, như Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn VănĐạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, ... cũngnghiên cứu các phương pháp giải bài toán biên cho phương trình vi phân. Trong số các phương trình vi phân thì phương trình vi phân phi tuyến cấpbốn được quan tâm rất nhiều trong thời gian gần đây vì nó là mô hình toán họccủa nhiều bài toán trong cơ học. Dưới đây chúng tôi điểm qua một số bài toánbiên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn. Đầu tiên, xét bài toán về dầm trên nền đàn hồi được mô tả bởi phương trìnhvi phân phi tuyến cấp bốn dạng u(4) (x) = f (x, u(x), u00 (x)) (0.0.2)hoặc u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x)) (0.0.3)trong đó u là độ võng của dầm, 0 ≤ x ≤ L. Các điều kiện biên tại hai đầu củadầm được cho phụ thuộc vào ràng buộc của bài toán. Đã có một số kết quả nghiêncứu về định tính của các bài toán biên đối với các phương trình vi phân trên nhưsự tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm. Đáng chú ý phải kể đến cácbài báo của Alves và cộng sự (2009), Amster và cộng sự (2008), Bai (2004), Li(2010), Ma và cộng sự (1997),..., ở đó phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới,phương pháp biến phân, các định lý điểm bất động được sử dụng. Trong các bài 1báo này điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải f (x, u, v) hoặc về bậc tăngtrưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếu được. Trong các bài báo đã nhắc đến ở trên, phương trình vi phân cấp bốn khôngchứa đạo hàm cấp ba. Khoảng hơn chục năm trở lại đây, phương trình vi phâncấp bốn đầy đủ, cụ thể là phương trình u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)) (0.0.6)thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả (xem Ehme và cộng sự (2002), Feng vàcộng sự (2009), Li và cộng sự (2013), Li (2016), Minhós và cộng sự (2009), Peivà cộng sự (2011),...). Các kết quả chính trong các bài báo trên là nghiên cứu sựtồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm. Các công cụ được sử dụng là lýthuyết bậc Leray-Schauder (xem Pei và cộng sự (2011)), định lý điểm bất độngSchauder trên cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệmtrên (xem Bai (2007), Ehme và cộng sự (2002), Feng và cộng sự (2009), Minhósvà cộng sự (2009)) hoặc giải tích Fourier (xem Li và Liang (2013)). Tuy nhiên, trong tất cả các bài báo nêu trên, các tác giả cần đến một giả thiếtrất quan trọng là hàm f : [0, 1] × R4 → R thỏa mãn điều kiện Nagumo và mộtsố điều kiện khác về tính đơn điệu và tăng trưởng tại vô cùng. Cần lưu ý rằng,trong phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luônluôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nói chung không dễ dàng. Các bài toán về hệ phương trình vi phân cấp bốn được nghiên cứu chưa nhiều,chẳng hạn Kang và cộng sự (2012), L¨ u và cộng sự (2005), Zhu và cộng sự (2010),trong đó các tác ...