Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với nghiệm của các phương trình tiến hóa (0.1), (0.2) và (0.3) dưới các điều kiện phần tuyến tính (B(t))t>0 sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ, phần phi tuyến thuộc vào không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ là hữu hạn hoặc vô hạn.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRỊNH XUÂN YẾNTÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÓ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH Ngành: Toán học Mã số: 9460101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Bách Khoa Hà NộiNgười hướng dẫn 1: TS. Vũ Thị Ngọc HàNgười hướng dẫn 2: PGS.TS. Đặng Đình ChâuPhản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Minh MẫnPhản biện 2: PGS.TS. Trần Đình KếPhản biện 3: TS. Phạm Trường XuânLuận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trườnghọp tại Đại học Bách Khoa Hà NộiVào hồi .... giờ, ngày ..... tháng ..... năm 2020.Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội2. Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đatạp không ổn định và đa tạp tâm là một trong các vấn đề cốt yếu trong việcnghiên cứu tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình cótrễ và trung tính. Việc nghiên sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn thuhút sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bức tranhhình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễuphi tuyến địa phương xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh mộtquỹ đạo xác định. Các kết quả ban đầu thu được bởi Hadamard, Perron, Bigoliubov vàMitropolsky về sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với phương trình vi phântrong Rn . Sau đó, Daleckii và Krein đã chứng minh sự tồn tại của đa tạpbất biến đối với nghiệm của phương trình nửa tuyến tính trong không gianBanach với toán tử tuyến tính bị chặn. Tiếp theo, Henry đã phát triển cáckết quả này về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toántử đạo hàm riêng không giới nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ củagiải tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả vềsự tồn tại của đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mớicho các lớp phương trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàmriêng có trễ và trung tính. Năm 2009, N.T.Huy đã chứng minh sự tồn tại củaloại đa tạp bất biến mới, cụ thể là đa tạp ổn định bất biến thuộc lớp chấpnhận được. Những đa tạp như vậy bao gồm quỹ đạo của nghiệm thuộc vàolớp không gian hàm Banach chấp nhận được, đó có thể là các không gianLebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian khác thường gặptrong lý thuyết nội suy. Theo hiểu biết của chúng tôi, năm 2009 sau khi Huy chỉ ra sự tồn tạicủa loại đa tạp bất biến chấp nhận được thì đến trước năm 2017 mới chỉ cómột số các công trình là nối tiếp hướng nghiên cứu này. Các công trình đóđã chứng minh sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với lớpcác phương trình tiến hóa nửa tuyến tính và phương trình đạo hàm riêng cótrễ. Vì thế, sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với phươngtrình đạo hàm riêng hàm trung tính đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được 1nghiên cứu. Những phân tích trên đây dẫn chúng tôi đến việc lựa chọn đề tàinghiên cứu là “Tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trìnhcó trễ và trung tính”. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày ba lớp phương trình đạohàm riêng hàm trung tính được trình bày trong luận án này. ( ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ≥ s, t, s ∈ I, (0.1) us = φ ∈ C := C([−r, 0], X), ( ∂ ∂t F ut = B(t)u(t) + Φ(t, ut ) t ∈ (0, ∞), (0.2) u0 = φ ∈ C := C([−r, 0], X), ( ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ∈ (0, ∞), (0.3) u0 = φ ∈ Cγ ,2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu ˆ Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với nghiệm của các phương trình tiến hóa (0.1), (0.2) và (0.3) dưới các điều kiện phần tuyến tính (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ, phần phi tuyến là ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ là hữu hạn hoặc vô hạn. ˆ Đối tượng nghiên cứu của luận án: Đa tạp bất biến chấp nhận được của các lớp phương trình (0.1), (0.2) và (0.3) trong không gian hàm chấp nhận được. ˆ Phạm vi nghiên cứu của Luận án: Trong luận án chúng tôi nghiên cứu các bài toán sau – Nội dun ...