Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính duy nhất và tính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức

Mục tiêu nghiên cứu của luận án "Tính duy nhất và tính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức" là nghiên cứu vấn đề duy nhất và vấn đề hữu hạn của các hàm hình chấp nhận được trên hình vành khuyên, có chung ảnh ngược của một giá trị, hoặc một số hàm nhỏ, hoặc một số cặp giá trị...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính duy nhất và tính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN AN HẢITÍNH DUY NHẤT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦAHỌ HÀM PHÂN HÌNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC TRÊN HÌNH VÀNH KHUYÊN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.01.05 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2023Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Sĩ Đức Quang.Phản biện 1: GS. TSKH. Hà Huy Khoái - Trường Đại học Thăng Long.Phản biện 2: PGS. TSKH. Tạ Thị Hoài An - Viện Toán học.Phản biện 3: GS. TS. Trần Văn Tấn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh được rằng hai hàm phân hình kháchằng trên mặt phẳng phức nếu có chung ảnh ngược không kể bội, của năm giátrị đôi một phân biệt thì phải trùng nhau, và hai hàm này liên kết với nhau bởimột phép biến đổi M¨bius nếu chúng có chung ảnh ngược kể cả bội, của bốn giá otrị đôi một phân biệt. Hai kết quả trên thường lần lượt được gọi là Định lí nămđiểm và bốn điểm của Nevanlinna. Hai kết quả này nhận được nhờ vào việc sửdụng Định lí cơ bản thứ hai của Nevanlinna cho hàm phân hình trên mặt phẳngphức với mục tiêu là các giá trị cố định trong C ∪ {∞}. Trong những thập kỷ vừa qua, nhiều nhà toán học đã quan tâm mở rộng vàphát triển sâu sắc hơn các kết quả của Nevanlinna khi thay điều kiện có chungảnh ngược đối với một số giá trị bởi điều kiện có chung ảnh ngược đối với một sốhàm nhỏ. Các kết quả đầu tiên theo hướng này được thu bởi G. Gundersen, P. Li,C. C. Yan. Năm 2004, K. Yamanoi đã thiết lập được Định lí cơ bản thứ hai chohàm phân hình trên mặt phẳng phức đối với các hàm nhỏ và hàm đếm với bộiđược ngắt bởi 1. Đây có thể xem là kết quả đẹp nhất về lý thuyết Nevanlinna thuđược trong khoảng vài thập kỷ gần đây. Kết quả của K. Yamanoi đã trở thànhcông cụ then chốt và mạnh mẽ trong việc phát triển Định lí bốn điểm và Định línăm điểm cổ điển của Nevanlinna lên cho trường hợp các hàm phân hình có chungảnh ngược của các hàm nhỏ. Các Định lí bốn điểm và năm điểm của Nevanlinnahầu như đã được mở rộng triệt để bởi các công bố gần đây của S. Đ. Quang vàS. Đ. Quang - L. N. Quỳnh. Tuy nhiên vẫn chưa có các kết quả tương tự như vậy cho trường hợp hàm phânhình trên các miền nhị liên. Ở đây chúng ta chú ý rằng mỗi miền nhị liên sẽ tươngđương bảo giác với một hình vành khuyên A = {z ∈ C : 0 ≤ r < |z| < R ≤ +∞} 1và nó song chỉnh hình với A(R0 ) = z ∈ C : R0 < |z| < R0 với R0 > 1 nào đó.Đặc biệt lưu ý rằng, trên hình vành khuyên chúng ta chưa có được Định lí cơ bảnthứ hai cho hàm phân hình đối với các hàm nhỏ tốt như kết quả của Yamanoi.Do vậy các nghiên cứu về vấn đề hữu hạn hay duy nhất của hàm phân hình trênhình vành khuyên với điều kiện về hàm nhỏ hầu như chưa có. 1 Vì những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài Tính duy nhất vàtính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vànhkhuyên trong mặt phẳng phức, để mở rộng các kết quả của Nevanlinna lêncho trường hợp các hàm phân hình trên hình vành khuyên.2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu vấn đề duy nhất và vấn đề hữu hạn củacác hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên, có chung ảnhngược (với bội được ngắt ở một mức nào đó) của một số giá trị, hoặc một số hàmnhỏ, hoặc một số cặp giá trị, dưới các điều kiện tổng quát hơn hoặc yếu hơn trongcác nghiên cứu trước đó hoặc chưa từng được nghiên cứu về các vấn đề này. Hơnnữa, trong các tình huống mà chúng tôi nghiên cứu thì các kỹ thuật và phươngpháp của các tác giả trước không thể giải quyết được.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các hàm phân hình trên hình vành khuyên.Phạm vi nghiên cứu trong Lý thuyết phân bố giá trị.4. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi dựa trên các phương pháp nghiên cứu, những kỹ thuật truyền thốngcủa Hình học phức và Lý thuyết phân bố giá trị, đồng thời chúng tôi đưa thêmnhững kỹ thuật mới để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án.5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Luận án góp phần làm phong phú thêm và sâu sắc hơn các kết quả về tínhduy nhất và tính hữu hạn của các hàm phân hình trên hình vành khuyên. Luậnán cũng là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao họcvà nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này.6. Cấu trúc luận án Ngoài các phần: Mở đầu; Kết luận và kiến nghị; Các công trình đã công bốliên quan đến luận án; Tài liệu tham khảo, luận án bao gồm bốn chương với tênnhư sau. Chương 1. Tổng quan. 2 Chương 2. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnhngược của một số hàm nhỏ. Chương 3. Vấn đề hữu hạn của họ hàm phân hình trên một hình vành khuyêncó chung ảnh ngược của bốn giá trị. Chương 4. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnhngược của một số cặp giá trị. Luận án được viết dựa trên bốn bài báo, đã công bố trong các tạp chí: ComplexAnalysis and Operator Theory (SCIE); Mathematica Bohemica (ESCI/Scopus);Bulletin of the Iranian Mathematical Society (SCIE); Indagationes Mathematicae(SCIE).7. Nơi thực hiện luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 3Chương 1TỔNG QUANTrong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt các kết quả của những tác giả đitrước về vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với hàm phân hình trên mặt phẳng phức.Tiếp theo, chúng tôi phát biểu các kết quả mới mà chúng tôi đạt được trong việcnghiên cứu vấn đề duy nhất và vấn đề hữu hạn của các hàm phân hình trên hìnhvành khuyên có c ...