Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động

Luận án "Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động" nghiên cứu về định lí không gian con Schmidt, định lí cơ bản thứ hai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉ Dio-phantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thanh SơnVỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNGCONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.01.05 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Trần Văn Tấn Hà Nội - Năm 2022MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Lí thuyết phân bố giá trị hay còn gọi là Lí thuyết Nevanlinna, được hình thànhtừ những nghiên cứu đầu tiên của Nevanlinna về sự phân bố giá trị của hàm phânhình một biến phức công bố vào năm 1925. Các kết quả của Nevanlinna đã nhanh chóng được nhiều nhà toán học mở rộngsang trường hợp chiều cao và nhiều biến như: A. Bloch xem xét vấn đề với đườngcong chỉnh hình trong đa tạp Abel; Cartan mở rộng kết quả của Nevanlinna tớitrường hợp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh phức; H. Weyl , J. Weylvà Ahlfors đưa ra cách tiếp cận bằng hình học; Stoll mở rộng sang trường hợpánh xạ phân hình từ không gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh... Nội dung chính của Lí thuyết Nevanlinna đưa ra mối quan hệ giữa hàm đặctrưng (đo sự lan tỏa của ảnh của ánh xạ) với hàm đếm các giao điểm của ảnhcủa ánh xạ với một mục tiêu. Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai địnhlí chính thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Ở đó,Định lí cơ bản thứ nhất đưa ra một chặn dưới cho hàm đặc trưng bởi hàm đếm,còn Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một chặn trên cho hàm đặc trưng bởi tổng củacác hàm đếm ứng với một mục tiêu. Với Định lí cơ bản thứ nhất, ta có thể nhìnnó như là một hệ quả của Công thức Jensen và ngày nay đã có những hiểu biếtthỏa đáng về nó. Tuy nhiên, với Định lí cơ bản thứ hai thì cho đến nay mới chỉđược thiết lập cho không nhiều trường hợp. Trước thập kỷ 80 của thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai được thiết lập chủyếu cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạ ảnhphức. Sang thập kỷ 80, một số nhà toán học đã phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữaLí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu là từ côngtrình của Osgood công bố năm 1981, sau đó được Vojta và nhiều chuyên gia khác 1thuộc hai lĩnh vực này tiếp tục làm rõ thêm. Năm 1987, trong một bài báo, Vojtađã lập ra một bảng tương ứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộc hai lĩnhvực trên mà ngày nay thường gọi là từ điển Vojta. Theo đó, Định lí cơ bản thứ haitương ứng với Định lí không gian con Schmidt của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine.Không chỉ có sự tương đồng về khái niệm và kết quả, giữa hai lí thuyết trên còncó sự bổ trợ lẫn nhau trong phương pháp giải quyết vấn đề. Sự bổ trợ qua lại đóđã làm cho cả hai lí thuyết đạt được những thành tựu nổi bật trong giai đoạn từđầu thế kỷ 21 đến nay, đó là thiết lập được nhiều Định lí cơ bản thứ hai và Địnhlí không gian con Schmidt cho các trường hợp mục tiêu là các siêu mặt. Tiêu biểulà các kết quả của Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretti, Ru, Dethloff-Trần Văn Tấn,Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái, Sĩ Đức Quang . Trong dòng chảy sôi động đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Về một dạngĐịnh lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không giancon Schmidt đối với siêu mặt di động.2. Mục đích nghiên cứu Trước tiên, luận án thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyêntrong đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của mục tiêu vàứng dụng trong việc xây dựng tính Brody của đường cong. Tiếp theo, luận ánthiết lập Định lí không gian con Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đa tạpđại số xạ ảnh.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu về Định lí không gian con Schmidt, Định lí cơ bản thứhai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đề tài của luận án được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉ Dio-phantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian xạảnh.4. Phương pháp nghiên cứu Các vấn đề đặt ra trong luận án được chúng tôi giải quyết bằng cách kế thừavà phát triển các phương pháp của Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ Diophantine,Giải tích phức, Hình học phức.5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 2 Các kết quả đạt được của luận án làm gia tăng tri thức về Lí thuyết Nevanlinnavà Lí thuyết xấp xỉ Diophantine cũng như các ứng dụng của Định lí cơ bản thứhai trong việc nghiên cứu họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, đường cong Brody. Sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng này cóthể sử dụng luận án như một tài liệu tham khảo trong quá trình học tập, nghiêncứu.6. Cấu trúc luận án Luận án được trình bày thành ba chương chính. Trong đó, chương thứ nhấtdành để phân tích, tìm hiểu các kết quả nghiên cứu của các tác giả trong và ngoàinước liên quan đến nội dung đề tài. Hai chương còn lại trình bày các kiến thứcchuẩn bị và chứng minh chi tiết các kết quả mới của đề tài. Chương I. Tổng quan. Chương II. Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàmcầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu. Chương III. Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giaođa tạp đại số xạ ảnh. Luận án được viết dựa theo kết quả nghiên cứu của tác giả và các đồng tác giảcông bố trong ba bài báo đăng trên các tạp chí khoa học trong nước và quốc tế.7. Nơi thực hiện luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 3Chương 1TỔNG QUAN Trong chương Tổng quan, chúng tôi xem xét lịch sử phát triển, mối quan hệ,một số kết quả tiêu biểu mà các tác giả đi trước đã đạt được trong cả hai Líthuyết Nevanlinna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, đồng th ...