Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một số lớp phương trình parabolic không địa phương

Mục đích của luận án là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các bài toán không địa phương này thông qua nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục (hữu hạn chiều), và sự tồn tại và ổn định mũ của nghiệm dừng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một số lớp phương trình parabolic không địa phương BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ TRẦN TÌNH VỀ MỘT SỐ LỚPPHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 HÀ NỘI, 2020 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Cung Thế Anh Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Minh Trí Viện Toán học Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Sinh Bảy Trường Đại học Thương mại Phản biện 3: PGS.TS Lê Văn Hiện Trường Đại học Sư phạm Hà NộiLuận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tạiTrường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi . . . giờ . . . ngày . . . tháng . . . năm 2020.Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Việc nghiên cứu các hiện tượng khuếch tán xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa họcnhư vật lý, sinh học, kinh tế, kỹ thuật, ..., dẫn chúng ta tới nghiên cứu các phươngtrình đạo hàm riêng. Trong hai mươi năm qua, lý thuyết về phương trình địa phươngvà không địa phương có sự phát triển mạnh mẽ, đặc biệt là lý thuyết phương trìnhparabolic. Các phương trình địa phương là phương trình mô tả mối quan hệ giữa hàmchưa biết và các đạo hàm riêng của nó và để kiểm tra nó thỏa mãn tại một điểm cụthể, ta chỉ cần biết các giá trị của hàm trong một lân cận nhỏ tùy ý để tất cả các đạohàm có thể được tính toán. Tuy nhiên, điều này không còn đúng với các phương trìnhkhông địa phương. Để kiểm tra phương trình không địa phương thỏa mãn tại một điểmcụ thể, thì thông tin về các giá trị của hàm cách xa điểm đó là cần thiết. Nói một cáchđơn giản, giá trị đầu ra của phương trình không địa phương thì phụ thuộc vào toànbộ giá trị đầu vào. Đặc điểm này của nó là kết quả trực tiếp của bản chất hiện tượngđược mô tả sinh ra. Tính không địa phương trong phương trình có các dạng khác nhauchẳng hạn như tính không địa phương của các số hạng nguồn (xem Y. Chen and M.Wang (2009), P. Souplet (1998)), tính không địa phương của các điều kiện biên (xemC. Mu et al. (2007, 2010), H. M. Yin (2004)), và tính không địa phương của các toántử khuếch tán (xem L. Caffarelli (2012), C. G. Gal and M. Warma (2016), N. Pan et al.(2017), P. Pucci et al. (2017), M. Xiang et al. (2018)). Tính không địa phương có thểxảy ra ở biến không gian hoặc thời gian hoặc cả hai. Phương trình chứa toán tử khôngđịa phương là lớp phương trình phổ biến nhất. Yếu tố không địa phương gây ra nhiềukhó khăn trong nghiên cứu. Nguyên nhân bởi tính không địa phương đã làm biến đổitính chất của phương trình, chẳng hạn tính duy nhất nghiệm của phương trình có thểkhông đạt được, hoặc tính trơn hơn của nghiệm cũng không đạt được. Vì vậy, chúngta cần một phương pháp nghiên cứu tốt và việc nghiên cứu phương trình parabolickhông địa phương đang là vấn đề thời sự. Một số lớp phương trình parabolic không địa phương quan trọng liên quan tới nộidung luận án như sau: 1 Lớp phương trình thứ nhất là lớp phương trình parabolic không địa phương chứatoán tử Laplace. Tính không địa phương là do hệ số khuếch tán được xác định bởi mộtđại lượng toàn cục. Các bài toán của lớp phương trình này có nhiều ứng dụng trongcác lĩnh vực khác nhau như Vật lý, Sinh học,.... Chúng ta có thể liệt kê một số kết quảgần đây như M. Chipot and B. Lovat (1997, 1999), A. S. Ackleh and L. Ke (2000), F.J. S. A. Corrêa et al. (2004), S. Zheng and M. Chipot (2005), S. B. de Menezes (2006),C. A. Raposo et al. (2008), A. A. Ovono (2010), J. Simsen and J. Ferreira (2014), R.J. Robalo et al. (2014), T. Caraballo et al.(2015, 2016), R. M. P. Almeida et al. (2016),Y. Han and Q. Li (2018). Lớp phương trình thứ hai là lớp phương trình parabolic không địa phương chứa toántử p-Laplace. Các bài toán của lớp phương trình này cũng có nhiều ứng dụng trongcác lĩnh vực Vật lý và Sinh học. Chẳng hạn, nó được sử dụng để mô tả chuyển độngcủa chất lỏng hoặc chất khí không ổn định trong môi trường không thuần nhất, khôngđẳng hướng. Nó có thể được xem xét như mô hình tổng quát về quần thể. Chúng tacó thể liệt kê một số kết quả gần đây như M. Chipot and T. Savitska (2014, 2015), T.Caraballo et al. (2017, 2018), J. Li and Y. Han (2019), Y. Fu and M. Xiang (2019). Cuối cùng, lớp phương trình không địa phương cũng nhận được nhiều sự quan tâmlà lớp phương trình không địa phương chứa toán tử khuếch tán bậc phân. Trong nhữngthập kỳ gần đây, các mô hình bậc phân trở thành công cụ mạnh để mô hình hóa cácquá trình khuếch tán phức tạp như các chuyển động kỳ dị, .... và các quá trình khuếchtán này kh ...