Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về sự không tồn tại nghiệm của một số phương trình đạo hàm riêng phi tuyến

Mục đích nghiên cứu của tóm tắt luận án "Về sự không tồn tại nghiệm của một số phương trình đạo hàm riêng phi tuyến" là đưa ra kết quả về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên yếu không âm không tầm thường của phương trình/hệ phương trình xốp có trọng. Nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm ổn định của phương trình elliptic suy biến với hệ số bình lưu. Chứng minh sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình Choquard phân thứ phi tuyến. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về sự không tồn tại nghiệm của một số phương trình đạo hàm riêng phi tuyến BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— ĐÀO MẠNH THẮNGVỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐPHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2024Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tập thể hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Dương Anh Tuấn 2. PGS. TS. Đào Trọng QuyếtPhản biện 1: GS. TS. Cung Thế Anh - Trường Đại học Sư phạm Hà NộiPhản biện 2: PGS. TS. Vũ Mạnh Tới - Trường Đại học Thủy lợi Hà NộiPhản biện 3: PGS. TS. Đỗ Đức Thuận - Đại học Bách khoa Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ..... giờ.....ngày..... tháng ..... năm ...... Có thể tìm hiểu Luận án tại Thư viện Quốc Gia Hà Nội hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1 MỞ ĐẦU1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thếkỉ 18 trong các công trình của những nhà toán học như Euler, D’Alembert,Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hìnhcủa Vật lý và Cơ học. Ngày nay, sau hơn hai thế kỉ phát triển, phương trình đạo hàm riêngđược sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực để mô hình hóa nhiều bài toán trongVật lý, Cơ học, Hóa học, Sinh học, Kinh tế học. Do tính phức tạp của cácbài toán thực tế, mô hình được thiết lập thường là các phương trình đạohàm riêng phi tuyến. Việc nghiên cứu sự tồn tại và tính chất định tính củanghiệm của các lớp phương trình này là một trong những chủ đề chính củagiải tích toán học theo hướng ứng dụng. Một hướng nghiên cứu thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học trongnhững năm gần đây là xem xét các điều kiện tồn tại hoặc không tồn tạinghiệm thông qua các định lí kiểu Liouville. Chúng đóng vai trò cơ bản vàđược xem là nền tảng để tiếp cận đến những hiểu biết sâu sắc về cấu trúctập nghiệm của các bài toán giá trị biên. Các định lí kiểu Liouville đưađến nhiều hệ quả và ứng dụng đặc biệt quan trọng, chẳng hạn như: ướclượng tiên nghiệm cho bài toán Dirichlet, các ước lượng kì dị và phân rã,định lí kiểu Liouville trên nửa không gian, ước lượng phổ quát, bất đẳngthức kiểu Harnack, tốc độ bùng nổ ban đầu và tốc độ phân rã theo thờigian của bài toán parabolic. . . Chủ đề thứ nhất được nghiên cứu trong luận án là phương trình ut − ∆um = up trong RN × R (1)và hệ phương trình ut − ∆um = v p trong RN × R, (2) vt − ∆v m = uqtrong đó p, q > m > 1. 2 Mục tiêu chính của chúng tôi là thiết lập điều kiện không tồn tại nghiệmkhông tầm thường đối với (1) và (2). Trong những năm gần đây, tính chấtLiouville đã được xem như một trong những công cụ mạnh trong việcnghiên cứu tính chất định tính đối với phương trình phi tuyến. Các địnhlý kiểu Liouville đưa đến một loạt các kết quả, ví dụ như: ước lượng tiênnghiệm; ước lượng kỳ dị và phân rã, ước lượng phổ quát. Phân loại nghiệm trên dương của (1) và (2) trong trường hợp ellipticđã được chứng minh Amstrong-Sirakov (2011). Chính xác hơn, mô hìnhelliptic của (2) là hệ Lane-Emden −∆um = v p trong RN , (3) −∆v m = uqHệ này không có nghiệm trên dương khi và chỉ khi 2p/m + 1 2q/m + 1 N − 2 ≤ max , 2 − 1 pq/m2 − 1 . pq/mĐặc biệt, khi p = q , hệ Lane-Emden −∆um = v p trong RN (4) 2không có nghiệm trên dương khi và chỉ khi N − 2 ≤ p/m−1 . Mặt khác,sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương đối với phương trình (4) đã N +2được thiết lập trong Gidas-Spruck (1981) với số mũ tới hạn pc (N ) = N −2 .Tuy nhiên, vấn đề tương tự đối với hệ Lane-Emden (3) vẫn chưa được giảiquyết hoàn toàn. Nó được gọi là giả thuyết Lane-Emden: Hệ (3) không cónghiệm dương khi và chỉ khi 1 1 2 + >1− . p/m + 1 q/m + 1 NGiả thuyết này đã được chứng minh trong trường hợp số chiều thấp N ≤ 4,xem Souplet (2009). Giả thuyết vẫn chưa chứng minh được trong trườnghợp N ≥ 5. Đối với mô hình parabol (1) trong trường hợp nửa tuyến tính khi m = 1,chúng ta đã có kết quả Fujita nổi tiếng về sự không tồn tại nghiệm khôngâm không tầm thường trong RN × (0, ∞) trong trường hợp 1 < p ≤ NN , +2xem Fujita (1966). Trong trường hợp p > NN , bài toán (1) đã được giải +2 3quyết, ở đó một nghiệm trên không âm có dạng 1 2 − p−1 −γ 1+|x| kt e t nếu t > 0, x ∈ RN u(x, t) = (5) N 0 nếu t ≤ 0, x ∈ R ,với k, γ được chọn thích hợp. Với hệ (2) khi m = 1, trong Duong- ...