Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Đại số và Lý thuyết số: Về phức Koszul

Nội dung của luận văn trình bày đại số Tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài; phức Koszul, cách xây dựng phức Koszul theo tích ngoài, cách xây dựng phức Koszul bằng cách lấy Tenxơ các phức; ứng dụng của phức Koszul, phức Koszul và dãy giải tự do của đại số đối xứng....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Đại số và Lý thuyết số: Về phức Koszul ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Phụ Hoàng Lân HÀ NỘI- 2015Chương 1Kiến thức chuẩn bị1.1 Các phức và đồng điều của phức1.1.1 Các phứcĐịnh nghĩa 1.1. Một dãy các môđun và các đồng cấu ∂n+1 n ∂ M• : · · · → Mn+1 −−→ Mn −→ Mn−1 → . . . (1.1)được gọi là một phức nếu ∂n ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z. Tương tự, một dãy các môđun và các đồng cấu ∂ n−1 ∂n M • = · · · → M n−1 −−→ M n −→ M n+1 → . . . , (1.2)được gọi là một đối phức nếu ∂ n ∂ n−1 = 0, ∀n ∈ Z. Một phức được gọi là khớp ở vị trí thứ n nếu Ker ∂n = Im ∂n+1 . Mộtphức được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi vị trí. Lưu ý rằng, một phức (khớp) cũng có thể hữu hạn, đó là khi dãy (1.1)hữu hạn.Định nghĩa 1.2. Một dãy khớp với 5 môđun có dạng 0 00 0→M →M →M →0được gọi là một dãy khớp ngắn. n ∂n+1 ∂Nhận xét 1.3. Mọi dãy khớp dài · · · → Mn+1 −−→ Mn − → Mn−1 → . . .đều có thể phân tích thành các dãy khớp ngắn 0 −−→ ker ∂n −−→ Mn −−→ im ∂n −−→ 0 k0 −−→ ker ∂n+1 −−→ Mn+1 −−→ im ∂n+1 −−→ 0 1 0Định nghĩa 1.4. Một đồng cấu giữa hai phức M• và M• là một họ các 0đồng cấu f• := {fn : Mn → Mn }n∈Z sao cho biểu đồ sau giao hoán ∂n+2 ∂n+1 ∂ ∂n−1 . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . .    f f f y n+1 yn y n−1 0 0 0 0 ∂n+2 0 ∂n+1 0 ∂n 0 ∂n−1 . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−→ Mn−1 −−→ . . . 0tức là fn−1 ◦ ∂n = ∂n ◦ fn , ∀n. 0Ta kí hiệu f• : M• → M• .1.1.2 Đồng điều của phứcĐịnh nghĩa 1.5. Môđun thương Hn (M• ) := ker ∂n /im ∂n+1 được gọi làmôđun đồng điều thứ n của phức M• . Một cách tương tự, môđun thươngH n (M • ) := ker ∂ n /im ∂ n−1 được gọi là môđun đối đồng điều thứ n của đốiphức M • . 0Mệnh đề 1.6. Cho một đồng cấu f• giữa hai phức M• và M• ∂n+1 ∂ . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ . . .    f f f y n+1 yn y n−1 0 0 0 ∂n+1 0 ∂n 0 . . . −−→ Mn+1 −−→ Mn −−→ Mn−1 −−→ . . . 0Khi đó với mỗi n sẽ có một đồng cấu (f∗ )n : Hn (M• ) → Hn (M• ) được cảmsinh bởi fn như sau (f∗ )n ([m]) = [fn (m)] , ∀m ∈ ker ∂n . 0 00 0Định nghĩa 1.7. Cho các phức M• , M• , M• và các đồng cấu f• : M• → M• , 00g• : M• → M• . Nếu với mỗi n dãy 0 fn gn 00 0 → Mn − → Mn − → Mn → 0là một dãy khớp ngắn, thì ta gọi dãy 0 f• g• 00 0 → M• − → M• − → M• → 0 0 00là một dãy khớp ngắn của các phức M• , M• , M• . 2Định lý 1.8. Cho một dãy khớp ngắn của các phức 0 f• g• 00 0 → M• −→ M• − → M• → 0Dãy này sẽ cảm sinh ra một dãy khớp dài trên các đồng điều 0 (f∗ )n n (g∗ )n 00 δ 0 · · · → Hn (M• ) −−−→ Hn (M• ) −−→ Hn (M• ) − → Hn−1 (M• ) (f∗ )n−1 (g∗ )n−1 00 δn−1 0 −−−−→ Hn−1 (M• ) −−−−→ Hn−1 (M• ) −−→ Hn−2 (M• ) → . . . (1.3) 00 0Các đồng cấu δn : Hn (M• ) → Hn−1 (M• ) được gọi là các đồng cấ ...