Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Các phương trình hàm hai biến

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các phương trình hàm hai biến. Hệ thống một số bài toán có thể giải được bằng phương trình hàm hai biến. Định hướng cho học sinh cách vận dụng phương trình hàm hai biến vào việc giải các lớp bài toán.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Các phương trình hàm hai biến12BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOCông trình ñược hoàn thành tạiĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGMAI TUYẾT HOAĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGNgười hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍPhản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂUCÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾNPhản biện 2: PGS. TS. NGUYỄN GIA ĐỊNHChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấpMã số: 60.46.40Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạcsĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 22 tháng 10 năm2011.TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC* Có thể tìm hiểu luận văn tại:- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà NẵngĐà Nẵng - 2011- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng.3MỞ ĐẦU1. Lý do chọn ñề tàiPhương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứuquan trọng của Giải tích Toán học.Trong các kì thi Olympic Toán quốc gia và quốc tế, OlympicToán khu vực, thường xuất hiện các dạng toán khác nhau có liên quanñến phương trình hàm. Tuy nhiên, cho ñến nay, học sinh các trườngchuyên, lớp chọn còn biết rất ít các phương pháp chính thống ñể giảicác phương trình hàm. Đặc biệt, hiện nay còn thiếu các cuốn sách vềchuyên ñề phương trình hàm và ứng dụng của chúng.Phương trình hàm thường là bài toán khó xuất hiện trong ñềthi của các cuộc thi toán học. Bởi vì ñể giải nó thì chỉ cần một ít lýthuyết cơ sở nhưng lại cần nhiều kỹ năng.Trong toán học ñương ñại nó ñóng vai trò chính ñể giải quyếtcác bài toán liên quan. Phương trình hàm ứng dụng rất nhiều trongchương trình toán phổ thông, chương trình bồi dưỡng học sinh giỏitoán.Xuất phát từ những vấn ñề nêu trên của phương trình hàm vàứng dụng của nó, chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài nghiên cứu với tên:“Các phương trình hàm hai biến”.2. Mục ñích nghiên cứuMục tiêu của ñề tài nhằm nghiên cứu các phương trình hàmhai biến. Hệ thống một số bài toán có thể giải ñược bằng phương trìnhhàm hai biến. Định hướng cho học sinh cách vận dụng phương trìnhhàm hai biến vào việc giải các lớp bài toán.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứuĐối tượng và phạm vi nghiên cứ u của ñề tài là khảo sát cácphương trình hàm hai biến. Hệ thống các bài toán liên quan ñến cácphương trình hàm hai biến này. Từ ñó nghiên cứu các phương pháp cơbản giải các bài toán vận dụng các phương trình hàm hai biến.4. Phương pháp nghiên cứu•Thu thập các tài liệu, các bài báo khoa học của các tác giảnghiên cứu liên quan ñến Phương trình hàm và các phươngtrình hàm hai biến.•Tham gia các buổi seminar hàng tuần ñể trao ñổi các kết quảñang nghiên cứu.4•Thu thập các ñề toán trong các cuộc thi liên quan ñến phươngtrình hàm, giải các bài toán ñó nếu chưa có lời giải tham khảo.Từ ñó ñề ra phương pháp chung cho các bài toán mang tínhchất tương tự.5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài•Tổng quan các kết quả của các tác giả ñã nghiên cứu liênquan ñến các phương trình hàm hai biến nhằm xây dựng mộttài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu các phươngtrình hàm hai biến.•Chứng minh chi tiết và làm rõ một số ñịnh lý, mệnh ñề cũngnhư ñưa ra một số bài toán, ví dụ minh họa ñặc sắc và có chọnlọc làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập.6. Cấu trúc của luận vănNgoài phần mở ñầu và kết luận, luận văn gồm 3 chươngChương 1. Giới thiệu các phương trình hàm hai biếnChương 2. Trình bày các bài toán về phương trình hàm hai biếnChương 3. Ứng dụng các phương trình hàm hai biến vào việc bồidưỡng học sinh giỏi• Trong Chương 1, trình bày các kiến thức cơ sở sẽ dùng chocác chương sau.• Trong Chương 2, trình bày một số bài toán tiêu biểu, ñặc sắcvà một số bài toán tổng hợp về các phương trình hàm haibiến.• Các phương pháp cơ bản vận dụng các phương trình hàm haibiến ñược trình bày trong Chương 3.Chương 1. GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG TRÌNHHÀM HAI BIẾN1.1 Phương trình CauchyPhương trình Cauchy có dạng f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R. (1.1)với f: R → R là một hàm liên tục. Ngiệm của phương trình∃a ∈ R: f(x) = ax, ∀x ∈ R.Để tìm nghiệm của phương trình Cauchy, chứng minh các mệnh ñề,ñịnh lý sauMệnh ñề 1.1. Cho f: R → R thoả mãn phương trình Cauchy65f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R.Phương trình hàm tuyến tính có dạngKhi ñó ∃a ∈ R: f(q)=aq, ∀q ∈ Q.f(ax + by + c) = pf(x) + qf(y) + rMệnh ñề 1.2. Giả sử f: R → R và g: R → R là hai hàm liên tục saochof(q) = g(q) với mọi q là số hữu tỉ.Khi ñó f(x) = g(x) với mọi x là số thực.Định lý 1.3. Cho f: R → R là hàm liên tục thoả mãn phương trìnhCauchyf(x + y) = f(x) + f(y) với mọi x, y là số thực.Khi ñó tồn tại một số thực a sao cho f(x) = ax với mọi x là số thực.Định lý 1.4. Cho f: R → R thỏa mãn phương trình Cauchy. Giả sử∃c, d ∈ R, c < d sao cho f bị chặn dưới trên ñoạn [c,d]. Nói cách khác,tồn tại một số thực A sao cho f(x) ≥ A với mọi c ≤ x ≤ d. Khi ñó tồn tạimột số thực a sao cho f(x) = ax với mọi x là số thực.Ứng dụng phương trình CauchyMệnh ñề 1.5. Giả sử f: R → R thoả mãn phương trình Cauchyf ( x + y) = f ( x) + f ( y ) với mọi x, y ∈ Rvà cũng ñơn ñiệu tăng nghĩa là f(x) ≤ f(y) với mọi số thực x ≤ y. Khiñó ∃a ≥ 0: f(x) = ax, ∀x ∈ R.Mệnh ñề 1.6.Dạng chung của hàm f làf(x) = sx + t.1.4 Phương trình mũ CauchyPhương trình mũ Cauchy có dạng f(x + y) = f(x)f(y) trong ñó hàmf:R→R ñược giả thiết liên tục và không ñồng nhất bằng 0.Nghiệm của phương trình là ∃b > 0: f(x) = bx, ∀x ∈ R.Xét phương trình f(xy) = f(x) f(y), ∀x, y ∈ R+. Nghiệm của phương f ( x ) = x k , ∀x > 0.trình là. f ( x ) = 0, ∀x ∈ R.1.5 Phương trình PexiderPhương trình Pexider có dạng f(x + y) = g(x) + h(y). Ta cần tìm tấtcả các hàm liên tục f, g, h: R → R thoả mãn phương trình trên với mọisố thực x, y.Nghiệm của phương trình Pexider là:f(z) = cz + a + b;g(x) = cx + ah(y) = cy + btrong ñó a, b, c ∈ R.Giả sử f: R → R thoả mãn cả hai phương trình1.6 Phương trình Vinczef(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R,Giả sử ta cần tìm tất cả các nghiệm f, g, h và k của phương trìnhf(xy) = f(x) f(y), ∀x, y ∈ R.Khi ñó f(x) = 0 hay ...