Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm xuất phát từ chúng. Có nhiều vấn đề liên quan đến định lý giá trị trung bình, nhưng ở đây chỉ đề cập đến phương trình hàm có liên quan.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRẦN THỊ YẾN LYĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNHVÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUANChuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấpMã số: 60.46.40TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCĐà Nẵng – Năm 20122Công trình ñược hoàn thành tạiĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGNgười hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNGPhản biện 1: TS. Lê Hoàng TríPhản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia ĐịnhLuận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấmLuận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tạiĐại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012Có thể tìm hiểu luận văn tại:- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng- Thư viện Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.3MỞ ĐẦU1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀIĐịnh lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giảitích. Nó có nguồn gốc từ ñịnh lý Rolle, ñược chứng minh bởi nhà toán học ngườiPháp Michel Rolle (1652-1719) ñối với ña thức vào năm 1691. Xuất phát từ nhucầu muốn tìm hiểu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm, hai vấn ñềquan trọng trong chương trình THPT, ñặc biệt là dành cho khối chuyên toán,chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài với tên gọi: Định lý giá trị trung bình vàphương trình hàm liên quan ñể tiến hành nghiên cứu. Vấn ñề này vẫn mangtính thời sự trong giải tích. Chúng tôi hy vọng tạo ñược một tài liệu tham khảotốt cho những người bắt ñầu tìm hiểu về Các ñịnh lý giá trị trung bình và cácphương trình hàm liên quan ñến chúng và trình bày một số ví dụ minh hoạ ñặcsắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨUMục tiêu của ñề tài nhằm nghiên cứu các ñịnh lý giá trị trung bìnhLagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và cácphương trình hàm xuất phát từ chúng. Có nhiều vấn ñề liên quan ñến ñịnh lý giátrị trung bình, nhưng ở ñây chỉ ñề cập ñến phương trình hàm có liên quan.3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨUĐối tượng nghiên cứu của ñề tài là ñịnh lý giá trị trung bình và phươngtrình hàm liên quan. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài là các ñịnh lý giá trị trungbình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình vàcác phương trình hàm liên quan ñến chúng.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quanñến các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng.2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn ñể trao ñổi các kết quảñang nghiên cứu.5. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI1. Tổng quan các kết quả của các tác giả ñã nghiên cứu liên quan ñếnĐịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan nhằm xây dựngmột tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về ñịnh lý giá trị trungbình và phương trình hàm.2. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số ñịnh lý, cũng như ñưa ra một số ví dụminh hoạ ñặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập.46. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂNLuận văn gồm phần mở ñầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tàiliệu tham khảo.- Chương 1: Hàm cộng tính và song cộng tính.- Chương 2: Định lý giá trị trung bình Lagrange và các phương trình hàmliên quan.- Chương 3: Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàmliên quan.CHƯƠNG 1HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNHCác khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tàiliêụ [2] , [5], [6].Mục ñích của chương này là trình bày một số kết quả liên quan ñến hàmcộng tính và song cộng tính. Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M. Legendre,người ñã nỗ lực ñầu tiên xác ñịnh nghiệm của phương trình hàm Cauchyf ( x + y ) = f ( x) + f ( y )với mọi x, y ∈ , Cuốn sách của Kuczma (1985) mô tả tuyệt vời về hàm cộngtính. Hàm cộng tính cũng ñã tìm thấy trong cuốn sách của Aczél (1966, 1987),Aczél – Dhombres (1989) và Smital (1988). Nghiệm tổng quát của nhiềuphương trình hàm hai hay nhiều biến có thể ñược biểu diễn theo các hàm cộngtính, nhân tính, logarit hoặc hàm mũ. Các phương trình mà chúng ta sẽ trình bàyở ñây chỉ liên quan ñến hàm cộng tính, song cộng tính và những biến dạng củachúng. Nhân tiện, chúng ta sẽ khảo sát nghiệm của một số phương trình khác cóliên hệ với phương trình Cauchy cộng tính.1.1. HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤCĐịnh nghĩa 1.1.1. Một hàm f : → , trong ñó là tập các số thực, ñược gọilà một hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy.f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )(1.1)với mọi x, y ∈ . Phương trình (1.1) ñược ñề cập ñầu tiên bởi A. M. Legendre(1791) và C.F. Gaus(1809), nhưng A.L. Cauchy (1821) là người ñầu tiên tìm ranghiệm liên tục tổng quát.5Định nghĩa 1.1.2. Một hàm f :có dạng→ñược gọi là một hàm tuyến tính nếu nóf ( x) = mx ( ∀x ∈),trong ñó m là một hằng số bất kì.Định lý 1.1.1. Cho f : → là một hàm cộng tính liên tục. Khi ñó f là tuyếntính, nghĩa là, f(x)=mx với m là một hằng số tùy ý.Định nghĩa 1.1.3. Một hàm f : → ñược gọi là khả tích ñịa phương nếu nókhả tích trên mỗi khoảng hữu hạn .Chú ý 1.1.2. Mọi hàm cộng tính khả tích ñịa phương ñều là tuyến tínhĐịnh nghĩa 1.1.4. Một hàm f : → ñược gọi là thuần nhất hữu tỉ nếuf ( rx ) = rf ( x ) ,(1.2)với mọi x ∈ R và mọi số hữu tỉ r.Định lý 1.1.2. Nếu một hàm cộng tính liên tục tại một ñiểm thì nó liên tục khắp nơi.1.2. HÀM CỘNG TÍNH GIÁN ĐOẠNTrong phần trước, chúng ta ñã chứng tỏ các hàm cộng tính liên tục là tuyếntính. Thậm chí nếu chúng ta giảm ñiều kiện liên tục về liên tục tại một ñiểm, cáchàm cộng tính vẫn còn tuyến tính. Trải qua nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộngtính gián ñoạn là một bài toán mở. Các nhà toán học không thể chứng minh mọihàm cộng tính là liên tục và không ñưa ra ñược một ví dụ về hàm cộng tính giánñoạn. Nhà toán học người Đức G. Hamel vào năm 1905 là người ñầu tiên thànhcông trong việc chứng minh sự tồn tại các hàm cộng tính gián ñoạn.Bây giờ chúng ta bắt ñầu nghiên cứu các hàm cộng tính phi tuyến (khôngtuyến tính).Định nghĩa 1.2.1. Đồ thị c ...