Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tích phân ngẫu nhiên Ito và một hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito

Luận văn này hệ thống lại một số kết cơ bản về tích phân ngẫu nhiên Ito và trình bày một hướng mở rộng tích phân ngẫu nghiên Ito, đưa ra một số kết quả mới trong công thức Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tích phân ngẫu nhiên Ito và một hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ KHUYÊN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITOVÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ KHUYÊN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITOChuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thịnh Hà Nội - 2017 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại họcQuốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thịnh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Nguyễn Thịnh,người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoànthành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học,Phòng Đào Tạo, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia HàNội, các thầy cô giáo đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tậpvà hoàn thành luận văn cao học tại trường. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thânđã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 2 năm 2017 Học viên Vũ Thị Khuyên iMục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Tích phân ngẫu nhiên Ito 3 1.1 Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Quá trình Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Tích phân Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Tích phân Wiener của các hàm số đơn giản . . . . . . . . . 8 1.3.2 Tính chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn giản 9 1.3.3 Tích phân Wiener của hàm số bình phương khả tích . . . . 11 1.4 Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . 16 1.4.3 Tích phân Ito tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5 Công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito 27 2.1 Phương pháp ồn trắng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên của K.Ito . . . . . . . 33 2.3 Một phương pháp mở rộng tích phân Ito mới . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Tích phân ngẫu nhiên mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.3 Công thức Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . 41 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1Mở đầu Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích trong môi trường ngẫu nhiên, là một hướngnghiên cứu rất quan trọng trong lý thuyết xác suất đồng thời cũng được ứngdụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác bên ngoài Toán học như Vật lý (lýthuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác ...), Sinh vật (động lựchọc dân số ...), Công nghệ (lý thuyết học, ổn định và điều khiển hệ động lựcngẫu nhiên ...) và đặc biệt trong kinh tế tài chính (định giá quyền lựa chọn trongthị trường chính khoán ...). Nó trở thành một công cụ tối quan trọng khi cần xửlý, phân tích và mô hình hóa các hiện tượng có sự can thiệp của nhân tố ngẫunhiên. Giải tích ngẫu nhiện hiện đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đạihọc trong và ngoài nước, nó thu hút nhiều nhà khoa học không ngừng nghiêncứu và phát triển về nó.Trong đó vi tích phân ngẫu nhiên Ito là một trong những khái niệm quan trọngcủa giải tích ngẫu nhiên. Từ khái niệm đó người ta đã xây nên một lớp các quátrình ngẫu nhiên Ito.Luận văn này hệ thống lại một số kết cơ bản về tích phân ngẫu nhiên Ito vàtrình bày một hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito, đưa ra một số kết quảmới trong công thức Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên.Luận văn được chia làm 2 chương cụ thể như sau: 1. Chương 1: Tích phân ngẫu nhiên Ito. Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, các kiến thức cơ sở cần cho các chương tiếp theo; xây dựng định nghĩa tích phân Wiener, một số tính chất của tích phân Wiener; xây dựng định nghĩa tích phân Ito, một số tính chất cơ bản của tích phân Ito, công thức Ito. 22. Chương 2: Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito. Chương này trình bày một số phương pháp để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito. Trong đó, trước khi trình bày một phương pháp mở rộng chính của luận văn, tác giả giới thiệu tóm tắt hai cách tiếp cận khác để mở rộng tích phân ngẫu nhiên. Một là phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên cho quá trình ngẫu nhiên không thích nghi của Kiyosi Ito với ý tưởng mở rộng bộ lọc Ft và phân tích bội lấy tích phân (integrator) thành một semi-martingale đối với bộ lọc mới. Hai là phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên của Masuyuki Hitsuda ...