Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp xác định dãy số lặp tuyến tính hệ số hằng

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này trình bày một số trong những phương pháp ấy. Ý tưởng chủ đạo của phương pháp là làm giảm dần cấp của các dãy số lặp(phương trình sai phân) bằng cách đưa vào những biến đổi thích hợp, có liên quan đến phương trình đặc trưng của các phương trình sai phân. Bằng cách đó đối với các dãy số lặp tuyến tính cấp ba được đưa về dãy cấp hai, dãy số cấp bốn được đưa về dãy số cấp ba, nói chung dãy số cấp cao sẽ được đưa về dãy số cấp thấp hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp xác định dãy số lặp tuyến tính hệ số hằng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG VŨ THỊ HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LẶP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG VŨ THỊ HÀ MÃ HỌC VIÊN: C01078 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LẶP TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN NGỌC Hà Nội-Năm 2019 Mở đầu. Dãy số lặp tuyến tính trong toán học ở bậc phổ thông bao gồm cấp số cộng, cấp số nhân, cộng-nhân, dãy Fibonacci, dãy Lucas, dãy Lucas- Pell,... Các dãy số trên đây là những dãy số tuyến tính cấp một và cấp hai. Tuy nhiên, công thức tổng quát của các dãy số trên còn ít được biết đến. Vấn đề trên đây là một trong những mục tiêu nghiên cứu của luận văn này bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp. Dãy số lặp tuyến tính là cách gọi khác của các phương trình sai phân tuyến tính. Đối với các dãy số tuyến tính cấp hai và cấp cao hơn, để xác định số hạng tổng quát, người ta thường sử dụng kỹ thuật phương trình sai phân. Kỹ thuật này đã được giới thiệu trong chương trình của các lớp chuyên Toán. Tuy nhiên, ở các lớp phổ thông không chuyên, phương trình sai phân không được giới thiệu. Vì vậy cần thiết phải có những tìm tòi các phương pháp giải khác mà kiến thức không vượt quá kiến thức ở bậc THPT. Luận văn này sẽ trình bày một số trong những phương pháp ấy. Ý tưởng chủ đạo của phương pháp là làm giảm dần cấp của các dãy số lặp(phương trình sai phân) bằng cách đưa vào những biến đổi thích hợp, có liên quan đến phương trình đặc trưng của các phương trình sai phân. Bằng cách đó đối với các dãy số lặp tuyến tính cấp ba được đưa về dãy cấp hai, dãy số cấp bốn được đưa về dãy số cấp ba, nói chung dãy số cấp cao sẽ được đưa về dãy số cấp thấp hơn. Trong luận văn còn trình bày phương pháp quy nạp xác định số hạng tổng quát của các dãy số lặp tuyến tính có dạng khá đẹp về hình thức, thông qua dãy số lặp của các hệ số. Bản luận văn gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung, Kết luận và Tài 1 liệu tham khảo. Chương 1: Phương pháp quy nạp xác định dãy số lặp tuyến tính cấp hai hệ số hằng , trình bày về định nghĩa và tính chất một vài dãy số với các số hạng là tổng (hoặc hiệu) của hai hay nhiều số nguyên, trong đó có dãy số liên kết với hai hằng số hoặc liên kết với một dãy số đã cho. Sử dụng phương pháp quy nạp xác định số hạng tổng quát của các dãy số cấp hai liên kết với một hoặc hai hằng số. Chương 2: Phương pháp cấp số xác định dãy số lặp tuyến tính cấp một và cấp hai , trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đưa dãy số lặp cấp hai hệ số hằng(phương trình sai phân cấp hai) về cấp số nhân(phương trình sai phân cấp một thuần nhất), hay cấp số cộng-nhân(phương trình sai phân cấp một không thuần nhất đặc biệt). Chương 3: Dãy số lặp tuyến tính cấp ba và cấp bốn, trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đưa dãy số lặp cấp ba và cấp cao hơn về dãy số lặp tuyến tính có cấp thấp hơn. Luận văn được hoàn thành dưới sự giúp đỡ của Thầy: TS. Nguyễn Văn Ngọc. Dù tác giả đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp. Nội dung chính của luận văn được hình thành dựa trên các tài liệu tham khảo [1]-[5]. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Thăng Long, 2018-2019. Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, Tháng 9, Năm 2019 Tác giả Vũ Thị Hà 2 Chương 1 Phương pháp quy nạp xác định dãy số lặp tuyến tính cấp hai hệ số hằng. 1.1 Dãy số tuyến tính cấp hai liên kết với hai hằng số. 1.1.1 Khái niệm. Định nghĩa 1.1. Dãy số Un được gọi là dãy số lặp tuyến tính cấp k hệ số hằng nếu Un+k = aUn+k−1 + bUn+k−2 + ... + cUn + f (n). trong đó a, b, ..., c là các hằng số, f (n) là biểu thức đã biết. Nếu f n) ≡ 0, thì dãy được gọi là thuần nhất, trường hợp còn lại được gọi là không thuần nhất. Ví dụ, dãy cấp số cộng và dãy cấp số nhân, cấp số cộng-nhân Un+1 = Un + b, Un+1 = aUn , Un+1 = aUn + b là những dãy cấp một. Cấp số nhân là dãy số cấp một thuần nhất, cấp số cộng và cấp số cộng-nhân với b 6= 0 là những dãy số cấp một không thuần nhất. Dãy số Fibonacci Fn với bất kỳ n ≥ 1 và F0 = 0, F1 = 1 dạng Fn+1 = Fn + Fn−1 là dãy số tuyến tính cấp hai thuần nhất. 3 Định nghĩa 1.2. Cho các số nguyên a, b và U0 , U1 . Lập dãy số Un dạng Un+1 = aUn + bUn−1 (1.1) với n ≥ 1. Dãy số (Un ) được gọi là dãy số liên kết với hai hằng số a, b sinh bởi U0 , U1 . Cho các số nguyên a, b và G0 = 0, G1 = 1. Dãy số (Gn ) dạng Gn+1 = aGn + bGn−1 (1.2) với n ≥ 1 được gọi là dãy số cơ sở của dãy số Un . Định nghĩa 1.3. Cho các số nguyên a và V0 , V1 . Lập dãy số (Vn ) dạng Vn+1 = aVn + Vn−1 (1.3) với n ≥ 1. Dãy số (Vn ) được gọi là dãy số liên kết loại một với hằng số a sinh bởi V0 , V1 . Cho các số nguyên a và H0 = 0, H1 = 1. Dãy số (Hn ) dạng Hn+1 = aHn + Hn−1 (1.4) với n ≥ 1 được gọi là dãy số cơ sở của dãy số (Vn ). Định nghĩa 1.4. Cho các số nguyên b và Z0 , Z1 . Lập dãy số (Zn ) dạng Zn+1 = Zn + bZn−1 (1.5) với n ≥ 1. Dãy số (Zn ) được gọi là dãy số liên kết loại hai với hằng số b sinh bởi Z0 , Z1 . ...